Oppervlakte driehoek

Hoi,
Ik zit misschien al te lang aan mijn wiskunde, maar ik mis het bewijs van het volgende:

oppervlakte:
DPQR = ¹/₂ · pq · sin(a+b)

Hoezo is dit waar?

driehoek PQR :
basis = PQ ·langste zijde, op mijn plaatje als basis·
bovenste hoek is R met sin(a+b), de hoogtelijn splitst de hoek in a en b.
PR is de linkerzijde omhooglopend naar R (zijde q)
QR is de rechterzijde omhooglopend naar R (zijde p)

Jurgen
Student universiteit - woensdag 11 juni 2003

Antwoord

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Stel $\alpha$=R₁, $\beta$=R₂

sin(R₁+R₂)= sin(R₁)·cos(R₂)+cos(R₁)·sin(R₂) (somformule goniometrie)

Je kan aflezen op de figuur:

sin(R₁)=PH/PR
cos(R₁)=RH/PR
sin(R₂)=QH/QR
cos(R₂)=RH/QR

$\Rightarrow$
sin(R₁+R₂)=PH/PR · RH/QR + QH/QR · RH/PR
=1/(PR·QR)·(PH·RH+QH·RH)

Nu is PH·RH = basis maal hoogte van $\Delta$PHR
$\Rightarrow$ PH·RH= 2·opp(PHR)
analoog is QH·RH=2·opp(QHR)
opgeteld:

(PH·RH+QH·RH)=2·opp(PQR)

$\Rightarrow$ sin(R₁+R₂)=2·opp(PQR)/(PR·QR)
of
opp(PQR) = ¹/₂ · sin(R₁+R₂) · (PR·QR)

q.e.d.

Koen Mahieu

woensdag 11 juni 2003

©2001-2024 WisFaq