Raakvlak aan een bol

Ik heb de volgende opgave.
Teken kubus OABC.DEFG in een rechthoekig coördinatenstelsel Oxyz met A=(4,0,0), C==(0,4,0) en D=(0,0,4). M is het midden van FG.
B is de bol die M als middelpunt heeft en die (onder meer) door D gaat.

-Allereerst moet bewezen worden dat de z-as een raaklijn van B is:

Hierbij had ik als redenatie: aangezien de bol door D gaat en D op dezelfde hoogte ligt als het middelpunt, moet de z-as wel een raaklijn zijn.

-Vervolgens moet een vergelijking van het raakvlak V van B in D gegeven worden:

Hierbij kan ik alleen maar de vergelijking z=4 vinden, maar mijn gevoel zegt dat dit niet goed is.

-Ten slotte zijdt B 4 grensvlakken van de kubus in 2 halve cirkels en 2 kwartcirkels. Hiervan moet een uitslag van de kubus getekend worden met daarin die 4 cirkelbogen:

Ik kan hier echter niet helemaal uitkomen.

Kunt u mij hiermee helpen?

Sebast
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 9 juni 2003

Antwoord

1. z-as raaklijn van B.

De lijn MD vormt de "straal" van de bol, en loopt uiteraard van het midden van de bol naar (een punt op) de bolschil.
Nu staat MD ^ z-as omdat het inproduct van de richtingsvector van MD en de z-as nul is. (reken maar na)
Zodoende raakt de z-as aan de bol.

2. MD vormt de NORMAAL van het vlak.
voor de richting MD geldt M-D=(2,4,4)-(0,0,4)=(2,4,0) komt overeen met (1,2,0)
dus vlak V: 1x+2y+0z=c ofwel x+2y=c
ter bepaling van c moet je een punt op het vlak invullen.
D(0,0,4) ligt dus in het vlak:
0+0=c Þ c=0 en dus geldt voor V: x+2y=0

3.
uit symmetrie volgt dat punt E eveneens op de bol ligt, evenals punt B en punt C.
Vandaar dat kwartcirkels E naar B (middelpunt F) en D naar C (middelpunt G) te vinden zijn.

Omdat D en E op de bol liggen (vanuit M is D 4 stapjes in y richting en 2 stapjes in x-richting), ligt ook P(2,0,2) op de bol (is namelijk vanuit M gezien 4 stapjes in de y-richting en 2 in de z-richting hetgeen een evengrote afstand tot M impliceert).
Zodoende heb je de halve cirkel DPE.

Evenzo voor Q(2,2,0): de halve cirkel BQC.

groeten,
martijn

mg
dinsdag 10 juni 2003

©2001-2024 WisFaq