Integreren van goniometrisch functies

Ik zit al uren te zwoegen op een integraal waar ik echt kop nog staart van kan krijgen

$\int{}$(2+sinx)/(sinx(1+cosx))

Kunt u me uitleggen hoe je deze oefening uitwerkt?

sinx.cosx = 1/2((sin x₁ + x₂) + sin (x₁-x₂))

Joren
3de graad ASO - zaterdag 7 juni 2003

Antwoord

Hallo Joren,

Ik zou die teller splitsen, er dus twee integralen van maken. De eerste wordt dus 2/(sinx(1+cosx)). Vermenigvuldig teller en noemer met sinx, dan komt er:
2sinx/(sin²x+cosxsin²x), dus in de teller kan je dat schrijven als d(cosx), en in de noemer kan je dat brengen tot 1 - cos²x + cosx - cos³x. Doe een substitutie t = cosx, en dan komt er een veelterm in de noemer, daar bestaan technieken voor die je waarschijnlijk wel kent.

Het tweede deel van de breuk wordt dan 1/(1+cosx). Hierop kan je de dubbelehoekformules gebruiken: zet cosx om tot
cos²(x/2)-sin²(x/2), schrijf die 1-sin²(x/2) als cos²(x/2) en je krijgt 1/(2cos²(x/2)). Dat moet te doen zijn, eventueel met t-formules (tangens van de halve hoek) of zo.

Als het niet lukt laat je nog maar eens iets weten.

Groeten,
Christophe.

Christophe
zondag 8 juni 2003

©2001-2024 WisFaq