Lucas rijen

Als je een lucas rij maakt, bijvoorbeeld
2,9,11,20,31,51,82,133,

blijkt dat uit 20² - 11·31
31² - 20·51
51² - 31·82

Steeds hetzelfde komt. Als je een andere rij maakt komt hier weer een andere, maar ook weer een vaste, waarde uit.
Nu is mijn vraag hoe je nu de eerste twee getallen (of de verhouding tussen deze twee getallen) kunt vinden als je bijvoorbeeld een uitkomst van 43 wilt hebben.

Ik had zelf bedacht;
als rij; a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, enz

En dan "verschil" = b² -(a·(a+b))

dit moet dat weer gelijk zijn aan (a+b)²-(b·(a+2b)) enz.

Maar het komt gewoon niet telkens uit.
Ik kan dus geen verhouding vinden voor a en b als ik een bepaald verschil wil hebben en als ik een bepaalde a neem en daar dan een b bij zoek kom je niet op hele getallen uit.

Wat moet ik doen??

alma
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 27 mei 2003

Antwoord

Om te beginnen een kleine correctie op je observaties:
De waarde (u_n)²-u_n-1·u_n+1 is niet helemaal constant, maar afwisselend +k en -k.
(Een leuke stelling om te bewijzen).

Het antwoord op je vraag is niet zo eenvoudig te geven.
Je bent op zoek naar een oplossing van de vergelijking

-a²-a·b+b²=43

waarbij a en b gehele getallen zijn.
Zo´n vergelijking heet een Diophantische vergelijking en het oplossen van Diophantische vergelijkingen is over het algemeen erg lastig.
Nu bestaat er voor tweede graads Diophantische vergelijkingen (waar jouw vergelijking een voorbeeld van is) een ´rekenmachine´ op internet die oplossingen berekent, als deze bestaan:

http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM

Om de oplossingen van -a²-a·b+b²=43 te vinden vul je links onderelkaar in:

-1
-1
1
0
0
-43

Klik op Solve It en het blijkt dat er geen oplossingen zijn.

Je kunt ook kijken of de ´rekenmachine´ de Lucasrij van je voorbeeld terugvindt.
Verander hiervoor -43 in -59.
Dit geeft als uitkomsten
-2 , 7
en
-5 , 7
Dit lijken niet de Lucasrijen die jij had, maar wanneer je de tweede rij voortzet krijg je:
-5 , 7 , 2 , 9 , 11 , etc.

Er lijkt weinig regelmaat te zitten in de waarden die als uitkomst kunnen voorkomen van (u_n)²-u_n-1·u_n+1.
Behalve dan dat alle kwadraten wel voorkomen. Bovendien lijken deze bijzondere Lucasrijen op te leveren. Je zou kunnen proberen dit vermoeden te bewijzen


Over de achtergronden van de berekeningen kan je klikken op Methods.

dinsdag 27 mei 2003

©2001-2024 WisFaq