Integreren van producten

donderdag hebben we examen wiskunde, en een paar kleine dingetjes snappen we nog niet...

waarom is de integraal van x·Ö(1+x²) dx = (1/3)·(1+x²)·Ö(1+x²) + c ???
Hoe kom je nu op die integraal uit?

Ons tweede probleem.
De integraal van cos(x)·sin(x) = (1/2)·sin²x + c
Zelfde als bij het eerste... hoe kom je op deze integraal?
Je moet gebruik maken van sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x) Maar wij komen er niet uit...

Victor
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 19 mei 2003

Antwoord

In sommige gevallen kun je integralen (althans: primitieven) heel systematisch berekenen, in andere gevallen -zoals nu- is het soms een beetje proberen en je verstand erbij houden.
Dat proberen komt er telkens op neer dat je een bepaalde gerichte(!) poging doet tot het formuleren van die primitieve, en dat je vervolgens gelijk er de afgeleide weer van neemt en kijkt of je op de oorspronkelijke functie uitkomt. En aan de hand van het resultaat bepaal je wat er nog schort aan je 'first guess'.

Nu jullie integraal:
xÖ(1+x²)
zet altijd eerst de wortel om in een macht:
x.(1+x²)^1/2

Een eerste goeie gok zou zijn de macht met 1 op te hogen, en het omgekeerde van de macht ervoor te plakken
(zoals bij xⁿ ® (1/n+1).xⁿ⁺¹)
levert:
(2/3).(1+x²)^3/2
= (2/3).(1+x²)^1+1/2
= (2/3).(1+x²)¹(1+x²)^1/2
= (2/3).(1+x²).(1+x²)^1/2
= (2/3).(1+x²)Ö(1+x²)
nu gelijk de afgeleide nemen en checken of je nog op de oorspronkelijke functie uitkomt:
[(2/3).(1+x²)^3/2]'=(3/2).(2/3).(1+x²)^1/2.2x
= 2x(1+x²)^1/2

we zitten dus WARM! het scheelt nog maar een factor 2.
Zodoende weet je gelijk dat je de primitieve die we zojuist geschat hebben, alleen nog maar door 2 hoeft te delen:
F(x)= (1/3).(1+x²)^3/2 + c

Nu:
cosx.sinxdx

1. dit kun je doen mbv differentialen:
cosx.sinxdx = sinx dsinx = d(¹/₂sin²x)

2. partieel integreren:
òsinx.cosxdx = [sin²x]-òcosx.sinxdx Û
2òsinx.cosxdx = [sin²x] Û
òsinx.cosxdx = ¹/₂[sin²x] = [¹/₂sin²x]

groeten,
martijn

mg
maandag 19 mei 2003

©2001-2024 WisFaq