Re: Breuksplitsen

Dit is een reactie op vraag 10666

Hallo
Ik snap niet hoe ze aan de laatste stap van deze breuk komen:
(x4-5)/(x4-1)
= (x4-1-4)/(x4-1)
= 1-4/(x4-1)
Kunt u dit uitleggen?

En waarom gebruiken ze deze formule? Hoe komen ze aan de a,b,cx en d?
-4/(x4-1)= a/(x-1) + b/(x+1) + (cx+d)/(x2+1)
Wilt u dit ook uitleggen?

Groetjes Elsbeth

Elsbet
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 13 mei 2003

Antwoord

5=1+4 vandaar dat x⁴-5=x⁴-1-4=
ook geldt (a+b)/c = a/c+b/c en specifieker: = (x⁴-1-4)/(x⁴-1) = (x⁴-1)/(x⁴-1) - 4/(x⁴-1) = 1 - 4/(x⁴-1)

en de laatste vraag behelst het hele principe van breuksplitsen...
x⁴-1 = (x²-1)·(x²+1) = (x-1)·(x+1)·(x²+1)
en dus kan elke breuk van de vorm (Ax³+Bx²+Cx+D)/(x⁴-1) geschreven worden als a/(x-1)+b/(x+1)+(cx+d)/(x²+1).
Het vermenigvuldigen van beide kanten met (x⁴-1) geeft:
(Ax³+Bx²+Cx+D)=a·(x+1)·(x²+1)+b·(x-1)·(x²+1)+(cx+d)·(x-1)·(x+1) en uitschrijven geeft:
(Ax³+Bx²+Cx+D)=a·(x³+x²+x+1)+b·(x³-x²+x-1)+(cx+d)·(x²-1) = a·(x³+x²+x+1)+b·(x³-x²+x-1)+(cx³+dx²-cx-d) = x³(a+b+c) + x²(a-b+d)+x(a+b-c)+(a-b-d)
Voor dit voorbeeld geldt: A=B=C=0 en D=-4 dus (a+b+c)=0, (a-b+d)=0, (a+b-c)=0 en (a-b-d)=-4
en oplossen geeft a=-1, b=1, c=0 en d=2 dus: -4/(x⁴-1)=-1/(x-1)+1/(x+1)+2/(x²+1) QED

lees je wel goed? dit alles had ik al gezegd in mijn eerste antwoord...

MvdH
dinsdag 13 mei 2003

©2001-2024 WisFaq