Re: Vergelijkingen oplossen

Dit is een reactie op vraag 10886

Hallo martijn,

Bedankt voor je antwoord,
Maar.....
De manier waarop ik x² = -1 en x³ = -1 opgelost heb is:

x³ = -1 = e^pi+k·2p
x = e^pi+k·2/3p

x1 = e^¹/₃pi
x2 = e^pi
x3 = e^5/3pi

Ik wilde dus voor de vergelijking:
x³ = 1 + i
een meervoudig antwoord hebben.

Mijn leraar zei dat het te maken had met de toename van de straal van de cirkel waarop de punten zich bevonden.
oe zit dat??

Piter
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 12 mei 2003

Antwoord

Ah kijk, dus je hebt al wel complexe e-machten gehad.
Dat had ik nou juist de vorige keer proberen te vermijden omdat ik dacht dat dat misschien net een treedje te hoog zou zijn. Maar okay.

Een complex getal, z, kun je dus schrijven in de vorm van een e-macht:
|z|.e^i.arg(z)

|z| is de absolute waarde van z (te berekenen uit
|z|=Ö(z.z^*) , z^* is complex-geconjugeerde)
en arg(z) betekent het argument van z: de hoek die de reele as (de x-as) maakt met de lijn door O en het betreffende punt.

Nu kijken we naar 1+i

De absolute waarde hiervan is Ö2
(immers Özz^*=Ö(1+i)(1-i)=Ö2)

en het argument:
het punt 1+i in het complexe vlak maakt een hoek van 45° ofwel p/4 rad met de reele as, dus arg(1+i)=p/4

strikter: arg(1+i)=p/4 + 2kp

Onze vergelijking ziet er dus als volgt uit:

x²=(Ö2).e^{i.(p/4 + 2kp)}
x= 2^1/4.e^{i.(p/8 + kp)}

Þ
x=2^1/4.e^ip/8 Ú
x= 2^1/4.e^i.9p/8 Ú

en omdat e^i.a=cos(a)+i.sin(a) is
x=2^1/4.(cos(p/8) + i.sin(p/8) ) Ú
x= 2^1/4.(cos(9p/8) + i.sin(9p/8))

De 3e-graads vgl gaat op een dergelijke manier:

x³=(Ö2).e^{i.(p/4 + 2kp)}
x=2^1/6.e^{i.(p/12 + 2kp/3)}

etc...

groeten,
martijn

mg
maandag 12 mei 2003

©2001-2024 WisFaq