Vierdegraads functies

Als je een vierdegraads functie, als een grafiek uitbeeld, kan je 3, 2 of 1 top(pen) hebbben. Waar hangt dat vanaf in de vierdegraadsfunctie?

Magixi
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 11 mei 2003

Antwoord

Dat hangt natuurlijk af van het aantal nulpunten van de afgeleide. We veronderstellen dat de leidende coefficient in de vierdegraadsveelterm, a, positief is. Je kan een gelijkaardige redenering maken indien a negatief zou zijn.

f(x) = ax⁴+bx³+cx²+dx+e
f'(x) = 4ax³+3bx²+2cx+d
f"(x) = 12ax²+6bx+2c

f"(x) is een dalparabool.

A) Als de discriminant ervan (die functie is van a, b en c) negatief is, zijn er geen reele nulpunten. f'(x) is dan stijgend en heeft daardoor juist 1 nulpunt. f(x) heeft dan 1 extremum. Dit geldt ook indien de discriminant nul zou zijn.

B)Is de discriminant van f"(x) positief, dan heeft f"(x) twee verschillende reele nulpunten, noem de kleinste x₁ en de grootste x₂. In ]x₁,x₂[ is f'(x) dalend, erbuiten stijgend. Nu wordt de invloed van coefficient d duidelijk.

* Als f'(x₂) 0 of f'(x₁) 0 dan heeft f'(x) juist 1 nulpunt en f(x) juist 1 extremum.
* Als f'(x₁) = 0 of f'(x₂) = 0 dan heeft f'(x) juist 2 nulpunten en f(x) juist 2 extrema.
* Als f'(x₁) 0 en f'(x₂) 0 dan heeft f'(x) juist 3 nulpunten en f(x) juist 3 extrema.

De coefficient e heeft natuurlijk geen invloed op het aantal extrema.

dinsdag 13 mei 2003

©2001-2024 WisFaq