Samengesteld experiment

Er bevinden zich 3 personen in een kamer die elk een getal van 1 tot 10 in hun hoofd hebben. Wat is de kans dat minstens twee personen hetzelde getal in gedachte hebben?

De uitkomst moet 7/25 zijn, maar ik lijk het écht niet te vinden. Het begrip minstens 2 is me zo raar want dan lijkt het toch of je twee oplossingen hebt: één waar er twee hetzelfde in gedachte hebben en één waar ze alle drie hetzelfde in gedachte hebben. Dit kan ik niet goed vatten

Alvast bedankt

koen
3de graad ASO - donderdag 1 mei 2003

Antwoord

Je vraag bestaat uit twee delen. Ik zal ze proberen apart te beantwoorden.

Verschil tussen minstens 2 en precies 2.
Als die mensen een getal in gedachten nemen dan zijn er drie mogelijkheden.
-- alle drie hebben ze een ander getal in gedachten
-- twee van hen hebben hetzelfde getal in gedachten en de derde persoon heeft een ander getal
-- drie van heb hebben hetzelfde getal in gedachten

De kans op 1 van deze drie gebeurtenissen is natuurlijk niet gelijk, maar daar zullen we het straks over hebben.
De vraag die je werd gesteld is wat de kans is dat twee van hen hetzelfde getal in gedachten hebben. En dan nog iets precieser: minstens 2 van hen hebben hetzelfde getal in gedachten.
Dat wil dus zeggen dat je de kans moet uitrekenen die de som is van de kansen van de tweede en derde mogelijkheid.
Wordt er nu gevraagd om de kans dat precies 2 van hen hetzelfde getal in gedachten hebben dan wordt daar mee bedoeld de tweede mogelijkheid.
Dus precies twee betekent: 2 hetzelfde getal en de derde een ander getal.

De kansen
Het aantal mogelijkheden waarop de drie mensen de getallen tussen de 1 en 10 in gedachten kunnen nemen is 1000 (10x10x10).
Het is dus onmogelijk om alle mogelijke getal combinaties uit te schrijven.
Nu nog de kans berekenen. Om te beginnen is de som van de kansen van de drie hierboven beschreven mogelijkheden natuurlijk 1.
Dit geeft ons twee manieren om de gevraagde kans te berekenen.
1. We kunnen de kans op drie verschillende getallen uitrekenen. De kans die we zoeken is dan 1 min de berekenden kans.
2. We rekenen de kansen op precies 2 dezelfde en precies 3 dezelfde apart uit en tellen die dan op.

Eerste methode
De kans dat alle drie een ander getal kiezen kun je op de volgende manier berekenen:
de eerste van de drie (A) kiest een getal.
de kans dan de tweede (B) een ander getal dan het getal van A kiest is 9/10.
de kans dat de derde (C) een ander getal kiest dan het getal van A en B is 8/10.

De kans op drie verschillende getallen is dus 1 * 9/10 * 8/10 = 72/100 = 18/25

De kans dat minstend twee hetzelfde getal kiezen is dus 1 - 18/25 = 7/25

Tweede methode
De kans dat alle drie hetzelfde getal kiezen kun je als volgt berekenen:
De eerst van de drie (A) kiest een getal
De kans dan de tweede (B) hetzelfde getal als A kiest is 1/10.
De kans dat de derde (C) hetzelfde getal als het getal van A en B kiest is 1/10.

De kans op drie dezelfde getallen is dus 1 * 1/10 * 1/10 = 1/100

De kans dat er precies twee hetzelfde getal kiezen kun je als volgt berekenen.
Er zijn drie combinaties waarop twee hetzelfde kunnen kiezen:

A en B hetzelfde; C anders
A en C hetzelfde; B anders
B en C hetzelfde; A anders

De kans dat A en B hetzelfde keizen en C wat anders is:
A kiest een getal
De kans dat B hetzelfde kiest is 1/10
De kans dat C wat anders kiest is 9/10
Dus kans is 9/100
Dit moeten we vermenigvuldigen met 3 omdat er drie combinaties mogelijk waren: 3 * 9/10 = 27/10

De totaal kans op minimaal twee dezelfde is dus 1/100 + 27/100 = 28/100 = 7/25

Je hebt nu twee methoden van berekenen gezien. Elke situatie heeft zo zijn methode die het handigste is, maar zelf zul je ook wel een voorkeur hebben voor de eerste of tweede methode.
Ik hoop dat het verschil tussen precies 2 en minimaal 2 duidelijk is geworden.
Is het nog niet helemaal duidelijk; laat het ons weten en dan proberen we het nog beter uit te leggen.

donderdag 1 mei 2003

©2001-2024 WisFaq