Verschillen projectieve en Euclidische meetkunde

Weten jullie voor ons misschien een paar sites over een meetkunde (bv. projectieve meetkunde) die we kunnen vergelijken met de Euclidische meetkunde. We moeten daar dus een paar duidelijke verschillen tussen vinden.

Alvast bedankt!

Joke B
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 29 april 2003

Antwoord

Hallo
Sites over de meetkunde ken ik niet, maar ik zal de verschillen eens opsommen....

Euclidisch:
De assenstelsels zijn orthonormaal, dwz, de ijken op x en y as zijn even lang, en ze staan loodrecht op elkaar. Bij euclidische meetkunde bestaan termen zoals hoek, afstand en evenwijdigheid.

Affien:
De ijken op x en y as moeten niet even groot zijn, en ook niet loodrecht op elkaar staan. Dit vergemakkelijkt sommige vraagstukken, zoals bij een driehoek. Je zet de oorsprong op een hoekpunt, en de eenheden op de andere 2. Zo krijg je heel eenvoudige vergelijkingen. Let wel op: hoeken en afstanden bestaan niet meer. de coordinaten hebben de vorm (x,y)

Gecompleteerd affien:
Bij gecompleteerd affien is er een 3e coordinaat toegevoegd, de z-coordinaat. Dit is voor de puntn op oneindig. (x,y,1) is op eindig, dus een gewoon punt en (x,y,0) ligt op de oneindige rechte L¥. Voor de rest is alles hetzelfde als bij affien. (x,y,o) is een richting, en rechten met dezelfde richting zijn evenwijdig. Dus als 2 rechten door (x,y,0) gaan, dus snijden op ¥ zijn ze evenwijdig, en worden hier evenwijdig getekend.

Projectief:
De L¥ is op eindig gelegd. je krijgt dus 3 grondpunten, e1 (snijpunt x en y) e2 (x en z) en e3 (y en z), met z de rechte op oneindig. Doordat we de rechte op oneindig op een eindige plaats gelegd hebben, veranderen verschillende eigenschappen... Zo bestaat evenwijdigheid niet meer. Het is snijden of niet snijden, maar al dan niet op oneindig. (de verbindingslijn van e2 met e3 is de rechte op oneindig). Als 2 rechten door hetzelfde punt gaan op e2e3 dan zijn ze in de euclidische mk evenwijdig.
ook heeft elk punt een drietal als coordinaat (x,y,z), met elke coordinaat op een veelvoud bepaald. dus (1,2,3) = (2,4,6). Gesnapt?

Omdat de coordinaten zo 'raar' zijn is het onmogelijk om een juiste tekening te maken.

Jan

js
vrijdag 2 mei 2003

©2001-2024 WisFaq