Wat betekent begrensd en wat is het complexe vlak?

"Wanneer we de relatie zn+1 = zn2 + C bekijken in het complexe vlak, waarin z = x + yi, dan kunnen we via de functie f(z) = z2 + C de punten van het complexe vlak op elkaar afbeelden.
Voor de constructie van de Julia set bij een bepaalde C wordt de rij z0, z1, z2, z3, ... bekeken. Blijft deze rij begrensd, dan wordt het startpunt z0 geplot."

Nu is mijn vraag: wat wordt bedoeld met "begrensd", "z=x+yi" en wat is een "complex vlak"?
Ik heb alle sites die bij de al gestelde vragen stonden al bekeken, maar ik snap het nog steeds niet.

hopelijk kunnen jullie het me uitleggen,

Sanne

Sanne
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 28 april 2003

Antwoord

Hallo Sanne,

'Normaal' teken je grafieken in het x-y-vlak. Dit is een plat vlak met twee assen erin, de x-as en de y-as. Het complexe vlak is net zo'n as, alleen met twee andere assen: horizontaal de reele as, vertikaal de imaginaire as. In dit vlak kunnen complexe getallen worden weergegeven.

Complexe getallen zijn getallen van de vorm a+bi, waarbij a en b twee reële getallen zijn (de getallen die je kent zoals 4, p, Ö2 etc). A heet het reele deel, b het imaginaire deel. I is een speciaal getal waarvoor geldt dat i²=-1. De complexe getallen bieden dus een extra mogelijkheid, namelijk de wortel te trekken van een negatief getal. Door b=0 te nemen kun je ieder reeel getal maken. De complexe getallen zijn dus een uitbreiding van de reële getallen.

Het weergeven van een complex getal in het complexe vlak is simpel. Op de horizontale as wordt het reële deel uitgezet, op de vertikale as het imaginaire deel. Het complexe getal 2+3i is dus het punt (2,3) in het complexe vlak.

Hoe neem je het kwadraat van een complex getal? Dat gaat op dezelfde manier als normaal:
(2+3i)²=2²+12i+9i²
We weten i²=-1, dus 9i²=-9, de uitkomst is dus
4+12i-9=-5+12i
Wordt in het complexe vlak dus in punt (-5,12) weergegeven.
Algemeen geldt (a+bi)²=(a²-b²)+2abi

Met begrensd wordt in dit geval volgens mij bedoeld: convergent. Dit wil zeggen dat de rij naar één bepaalde waarde toegaat, en niet oneindig groot wordt, of oneindig klein. Neem bijvoorbeeld de rij a_n+1=a_n+(¹/₂)ⁿ. Neem je hier a₀=1, dan krijg je achtereenvolgens de waarden 1;1,5;1,75;1,875....Deze rij is convergent; hij convergeert naar waarde 2.

Ik hoop dat je hier wat aan hebt,

groet,

Casper

cz
dinsdag 29 april 2003

©2001-2024 WisFaq