Ouderdomsbepaling C-14 via logaritme

Ik moet een werkstuk maken over de ouderdomsbepaling via de koolstof-14 (C-14) methode.

Zodra een levend wezen sterft, houdt het op met koolstof op te nemen. De verhouding C-12 tot C-14 op dat moment is het zelfde als voor ieder levend wezen, maar de C-14 vervalt en wordt niet meer vervangen. De C-14 vervalt met halveringstijd 5730 jaar, terwijl de hoeveelheid C-12 gelijk blijft. door nu naar de verhouding van C-12 tot C-14 te kijken en dat te vergelijken met de verhouding in een levend wezen, is het mogelijk de ouderdom (t) van het te dateren object (bot, stuk hout etc.) vrij nauwkeurig te bepalen.

Voor deze methode is een bepaalde formule:

t = ln (N[t]/N[o]) x t¹/₂ / (-0.693)
hier zijn de tekens tussen [..] ten opzichte van het teken ervoor een stuk lager gezet.

Hierin is ln de natuurlijke logaritme, Nt/No is het percentage koolstof-14 in het monster vergeleken met de hoeveelheid die in levend weefsel wordt aangetroffen en t₁/2 is de halfveringstijd van C-14 (5730 jaar).

Ik wil graag weten hoe deze formule tot stand komt. Ik heb ergens gelezen dat dat via de volgende formule gaat:

N = b·g^t

Alvast bedankt,
Xander

Xander
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 25 april 2003

Antwoord

De volgende differentiaal vergelijking blijkt te geldenvoor je probleem :

dN(t)/dt = -k·N(t)

Hierin is N(t) de hoeveelheid C-14 op tijdstip t.

Hier staat dus : de snelheid waarmee N(t) veranderd is evenredig met de hoeveelheid C-14 op dat tijdstip maal een constante factor k). Herschrijven geeft :

N` + k·N=0 [ Let op : N`=dN(t)/dt en N=N(t) ]

Bovenstaande formule is een 1e orde differentiaal vergelijking. Om deze op te lossen doen we het volgende :

Vermenigvuldig elke term uit de vergelijking met een e-macht, met in de macht de integraal van de coefficient van N geintegreerd over t. In dit geval is deze coeffiecient dus k. Voor de integraal geldt dan:

Coef. = INT k·dt=k·t

Dan volgt :
N`·e^k·t + k·N·e^k·t=0

In feite is er nu niets aan de vergelijking veranderd
omdat de e-macht aan elke term is toegevoegd en je hem dus ook weer kan uitdelen.

Nu moet je inzien dat het volgende geldt

(N·e^k·t)` = N`·e^k·t + k·N·e^k·t

Dus de afgeleide van N·e^kt=N`·e^kt + k·N·e^kt

Ga dit zelf maar na dmv de produkt regel!

Dit invullen geeft :

(N·e^kt)`=0

Oplossen geeft :

N·e^kt=C (C = integratie constante)

en dan geldt ook :

N=Ce^-kt
Je hebt nu een formule voor N(t) met daarin twee onbekenden : C en k.
We weten dat op t=0 er een bepaalde hoeveelheid C-14aanwezig moet zijn. Dit noem ik N(0).

Invullen geeft

N(0) = Ce^-k·0 = C·1

Dus C=N(0), de vergelijking wordt nu :

N(t)=N(0)·e^-kt

Ook weet je dat N(0)/2 = N(0)·e^k·T
Hierin is T de halveringstijd.
Met deze vergelijking kan de k waarde worden bepaald, namelijk :

1/2 = e^k·T
k = ln¹/₂/T = 0.694/T

Nu ook de k-waarde bekend is, volgt :

N(t)=N(0)·e^-(0.694/T)t

Als laatste willen we nu t vrijmaken, zodat als je een hoeveelheid C-14 aantreft de tijd bepaald kan worden.

N(t)/N(0) = e^-(0.694/T)t

ln[N(t)/N(0)] = -(0.694/T)t

t=[N(t)/N(0)] · (T/-0.694)

Et voila, daar is je formule.

Groeten,

Michel

mj
vrijdag 25 april 2003

©2001-2024 WisFaq