Buiten de driehoek abc zijn de parallellograms abde, acfg, aehg gelegen. de evenwijdige met ab door f snijdt ac in f', de evenwijdige met ac door d snijdt ab in d'. Bewijs dat bf, cd, ah, concurrent zijn enkel en alleen indien d'f' evenwijdig is met bc.
Valera
3de graad ASO - woensdag 16 april 2003
Antwoord
Het heeft even geduurd, dus ik hoop dat het nog actueel is, maar hier is het antwoord op je vraag. Ik heb helaas geen meetkundige oplossing gevonden, maar wel analytisch. Kies A als oorsprong, en AB en AC als basisvectoren (1,0) en (0,1). Noem F(f1,f2) en D(d1,d2). Dan is F'(0,f2) en D'(d1,0). F'D' evenwijdig aan BC betekent dan: f2=d1. Een vectorvoorstelling van BF is: (1,0)+l(f1-1,f2) Een vectorvoorstelling van CD is: (0,1)+m(d1,d2-1) Deze twee snijden levert punt S met de volgende coördinaten: -d1(f1+f2-1)/a, -f2(d1+d2-1)/a waarbij de gezamenlijke noemer a=1+d2f1-f2d1-f1-d2 De richting van AS is dus (-d1(f1+f2-1), -f2(d1+d2-1)) De vector AH is, met al die parallellogrammen, te schrijven als AG+AE=CF+BD=(f1+d1-1,f2+d2-1). Vergelijk deze met de richting AS. Nu is duidelijk: als F'D' evenwijdig is met BC, dan is d1=f2, en dan is zijn de richtingen van AH en AS afhankelijk, dus zijn AH, BF en CD concurrent. Andersom is lastiger. Veronderstel dat AH, BF en CD concurrent, dus AS en AH afhankelijk zijn. Stel nu dat d1=x·f2. Invullen in de vergelijkingen van de verhoudingen van AS en AH levert uiteindelijk (na kruislings vermenigvuldigen en vereenvoudigen): x=1, dus dan moet inderdaad d1=f2, dus zijn F'D' en BC evenwijdig.
