Hoe kan je bewijzen dat de decimaalontwikkeling van elke breuk periodiek is? en waarom zijn sommige getallen niet als breuk te schrijven?
Martin
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 15 april 2003
Antwoord
Dag Martine,
De eerste vraag: als je de staartdeling uitvoert, zie je dat je niet bezig kan blijven zonder dat er een herhaling optreedt. Voorbeeld: 1/7, je maakt er 10/7 van resultaat 1 rest 3. Je zet er een nul achter, resultaat 4 rest 2. Dan zal je slechts zes verschillende resten kunnen uitkomen, namelijk 1 tot 6 (als je nul uitkomt stopt de bewerking: een eindige voorstelling), en als je eens een rest tweemaal ziet opduiken dan herhaal je steeds dezelfde bewerking, dus heb je een periodiciteit. In dit geval zijn de resten 1,3,2,6,4,5,1,3,2,... en de resultaten 1,4,2,8,5,7,1,4,2,... Hierdoor zie je ook dat de periode niet langer kan zijn dan de deler min één.
Wat de tweede vraag betreft: stel dat Ö2 als breuk p/q te schrijven is, dan is 2 = p2/q2, dus p2 = 2q2. Maar p2 en q2 hebben een even aantal factoren 2 want het zijn kwadraten. Dus 2q2 heeft een oneven aantal factoren 2, zodat p2 = 2q2 strijdig is. Dit is maar één van de oneindig veel getallen die irrationaal zijn (= niet als breuk van gehele getallen te schrijven).
