\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 98406

Re: Integreren met een limiet

Als ik bij (1-x \sqrt{} x)ln(1- \sqrt{} x) voor x=1 invul zou er volgens u 1 uitkomen...Ik dacht: +oneindig.Ook als ik deze functie teken op mijn GRM dan zie ik een verticale asymptoot bij x=1.
Hoe kan dit matchen met limieten bij logaritmen?

Dian
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 20 december 2024

Antwoord

Je moet niet x=1 invullen, maar de limiet nemen voor x naar 1.
Je kunt 1-x\sqrt x ontbinden als (1-\sqrt x)(1+\sqrt x+x) (vermenigvuldig maar weer uit).
Het gaat dan dus om

\lim_{x\uparrow1}(1+\sqrt x+x)(1-\sqrt x)\ln(1-\sqrt x)

Van (1+\sqrt x+x) is de limiet gelijk aan 3. Dan blijft nog

\lim_{x\uparrow1}(1-\sqrt x)\ln(1-\sqrt x)

Je kunt substitueren: u=1-\sqrt x, dan staat er

\lim_{u\downarrow0} u\cdot\ln u

Dat is een bekende limiet, met waarde 0.

Overigens, als ik de functie laat plotten krijg ik dit:Misschien deed je rekenmachine het niet helemaal goed.

kphart
zaterdag 21 december 2024

©2001-2025 WisFaq