\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 97964

Re: Wortels

Zover was ik zelf ook gekomen. Ik hoopte op iets meer dan een afspraak. Bijvoorbeeld iets dat volgt uit axioma's of rekenregels waardoor het wel zo moet zijn.

Patric
Docent - dinsdag 19 december 2023

Antwoord

De axioma's voor $\mathbb{R}$ impliceren dat $x^2=a$ twee oplossingen heeft (als $a$ positief is) en er is algebraïsch geen reden om de één boven de andere te verkiezen. Als je de ordening erbij betrekt en ook de rekenregels voor exponenten wilt behouden dan is de positieve oplossing verreweg de handigste: $x^4=a$ heeft ook twee oplossingen en beide hebben als kwadraat de positieve oplossing van $x^2=a$. Die positieve oplossing wordt per definitie de waarde van $\sqrt a$ en $a^{\frac12}$. Als je de rekenregels voor machtsverheffen wilt behouden als je ook gebroken exponenten meeneemt dan wordt je gewoon gedwongen voor de positieve waarden te kiezen.

In Pythagoras staat een serie artikeltjes over worteltrekken en machtsverheffen, zie Jaargang 45 (2005-2006).

Overigens was de meetkundige reden $\sqrt a$ positief te nemen er al eerder: het is tenslotte een lengte.

kphart
dinsdag 19 december 2023

©2001-2024 WisFaq