Definitie van de natuurlijke getallen op basis van equivalentieklassen
De natuurlijke getallen kunnen gedefnieerd worden door f: $\mathbf{N}$ x $\mathbf{N}$ $\to $ $\mathbf{Z}$ :(n,m) $\to $ n-m. Deze relatie bepaalt een equivalentierelatie in $\mathbf{N}$ x $\mathbf{N}$ met equivalentieklassen die een partitie vormen in $\mathbf{N}$ x $\mathbf{N}$ (disjuncte niet lege verzamelingen). Maar hoe bepaal ik nu de equivalentieklasse van bijvoorbeeld $[2]$, als $[2]={(1,2),(2,3), ...}$? Ik begrijp de bijectie hier niet: er vertrekken toch meerdere pijlen in elk getal $\in $ $\mathbf{N}$ naar elk getal $\in $ $\mathbf{N}$ : zoals bijvoorbeeld in het getal 1 (kolom) $\to $ 1-1, 1-2, 1-3, ... en er komen toch ook oneindig veel pijlen toe in 1 (rij) $\to $ (-1+2), (-1+3), ...
Geys F
Iets anders - maandag 11 december 2023
Antwoord
Er is nogal wat mis met de vraag. Het gaat hier niet om het maken van de natuurlijke getallen maar om het maken van de gehele getallen vanuit de natuurlijke getallen.
De functie $f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ die je definieert door $(n,m)\mapsto n-m$ is een beetje voorbarig, omdat je $\mathbb{Z}$ nu juist aan het maken bent. Maar die $f$ geeft inderdaad wel aan wat er moet gebeuren: $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ in equivalentieklassen verdelen en die klassen worden dan de gehele getallen.
Maar dan gaat het weer even mis: er is geen klasse $[2]$ want $2$ zit niet in $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. En de verzameling $\{(1,2),(2,3),\ldots\}$ lijkt me eerder het getal $-1$ te bepalen dan~$2$ (overigens mist daar nog $(0,1)$).
En de uiteindelijke bijectie is niet tussen $\mathbb{N}$ en $\mathbb{N}$ of tussen $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ en $\mathbb{N}$ maar tussen de verzameling van equivalentieklassen en de verzameling der gehele getallen.
Hoe werkt het dan wel? We beginnen met $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ en noemen $(k,l)$ en $(m,n)$ equivalent als $k+n=m+l$ (zo vermijden we het gebruik van aftrekken). De equivalentieklasse van een geordend paar $(k,l)$ noteren we als $\bigl[(k,l)\bigr]$. Er geldt dat $\bigl[(k,l)\bigr]=\bigl[(k-l,0)\bigr]$ als $k\ge l$ en $\bigl[(k,l)\bigr]=\bigl[(0,l-k)\bigr]$ als $k\le l$.
En hier is dan de bijectie tussen de verzameling $\mathcal{Z}$ van equivalentieklassen en $\mathbb{Z}$ zoals we die kennen: $\bigl[(n,0)\bigr]\mapsto n$ en $\bigl[(0,n)\bigr]\mapsto -n$.
