\require{AMSmath}

Extremaproblemen

Een raam heeft de vorm van een rechthoek met daarop een halve cirkel met diameter gelijk aan de zijde van de rechthoek waarop hij rust. Het rechthoekig deel is in helder glas, de halve cirkel in gekleurd glas dat maar half zoveel licht doorlaat per eenheid van oppervlakte. De buitenomtrek van het raam is een vast getal A. Bepaal de afmetingen van het raam waarbij het meeste licht doorgelaten wordt.

Adam
3de graad ASO - maandag 2 oktober 2023

Antwoord

Hallo Adam,

Stel b=breedte van het raam en h=hoogte van de rechthoek. De omtrek A van het raam wordt dan gevormd door 1 keer de breedte, 2 keer de hoogte van de rechthoek en de omtrek van een halve cirkel, dus:

A = b + 2h + ¹/₂$\pi$b

Hieruit volgt:

h = ¹/₂A - b(¹/₂-¹/₄$\pi$) (formule 1)

De doorlaatbaarheid van het licht is maximaal wanneer de oppervlakte van de rechthoek + de helft van de oppervlakte van de halve cirkel maximaal is. Je zoekt dus de maximale waarde voor de variabele y:

y = b·h + ¹/₁₆$\pi$b² (formule 2)

Vul nu formule(1) in bovenstaande formule (2) in:

y = b·¹/₂A - b(¹/₂-¹/₄$\pi$b) + b·h + ¹/₁₆$\pi$b²

Hiermee heb je de variabele y uitgedrukt in de breedte b van het venster. Vereenvoudig deze formule, bepaal vervolgens de afgeleide y om de waarde van b te vinden waarbij het meeste licht wordt doorgelaten.

Lukt het hiermee? Zo niet, stel gerust een vervolgvraag, maar laat dan zien wat je zelf hebt geprobeerd of geef aan waar je moeilijkheid zit.

GHvD
dinsdag 3 oktober 2023

©2001-2024 WisFaq