Geachte, Kunt u mij helpen bij het volgende probleem? Gegeven is de functie f(x)= (x-1)|x2-4| Hoe maak ik hierbij een tekenverloop met x, f'(x), f"(x) en f(x)? Ik begrijp, dat je de functie moet splitsen in: x $<$ -2 of x $>$ 2 en -2 $<$ x $<$ 2 ( moeten hierbij ook gelijktekens staan?) Dan is er 2 maal hetzelfde buigpunt bij x = 1/3. Maar dat ene buigpunt vervalt bij x $<$ -2 of x $>$ 2. Ik zie dat de grafiek bol is bij x $<$ -2, hol bij -2 $<$ x $<$ 1/3, bol als 1/3 $<$ x $<$ 2 en hol als x $>$ 2. Maar welke waarden zet ik bij x=2 en bij x=-2? (14 of -14 en 10 of -10? Kortom, hoe maak ik een mooi tekenoverzicht bij een functie met een absolute waarde??
Bij voorbaat erg bedankt voor uw hulp!
Kirsten
Kirste
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 2 juni 2023
Antwoord
Hallo Kirsten,
Voor x$ \le $ -2 en x$ \ge $ -2 is x2-4$ \ge $ 0, dus dan mag je de absoluutstrepen ook weglaten. Hier geldt dus: f1(x)=(x-1)(x2-4). Voor -2 $<$ x $<$ 2 is x2-4 $<$ 0, dus daar kan je f(x) schrijven als: f2(x)=(x-1)*-(x2-4), ofwel: f2(x)=-(x-1)(x2-4). Voor x=2 of x=-2 maakt het eigenlijk niet uit welke van deze twee vormen je gebruikt: de functiewaarde is in beide gevallen 0. Maar het is niet netjes om voor x=2 twee verschillende functievoorschriften te gebruiken. Dus je gebruikt:
òf x$ \le $ 2, -2 $<$ x $<$ 2 en x$ \ge $ 2, òf x $<$ 2, -2$ \le $ x$ \le $ 2 en x $>$ 2.
Zelf vind ik de eerste iets logischer, omdat x$ \le $ 2 en x$ \ge $ 2 intervallen aangeven waarbij de absoluutstrepen geen invloed hebben.
Voor het tekenschema van f(x) bekijk je eerst waar f(x)=0. Je vindt x=-2, x=1 en x=2. vervolgens onderzoek je wat het teken van f(x) is tussen deze nulpunten. Dan zie je: x $<$ -2: f(x) $<$ 0. x=-2: f(x)=0 -2 $<$ x $<$ 1: f(x) $<$ 0 x=1: f(x)=0 1 $<$ x $<$ 2: f(x) $>$ 0 x=2: f(x)=0 x $>$ 2: f(x) $>$ 0.
Voor het tekenverloop van f'(x) bepaal je eerst de afgeleide van beide vormen f1(x) en f2(x), waarbij je beide vormen natuurlijk alleen mag toepassen op het bijbehorende domein. Maar let op: bij x=-2 en x=2 bestaat f'(x) niet, want de limiet vanaf links van (f(x+h)-f(x))/h voor h naar nul is niet gelijk aan de limiet vanaf rechts. In de grafiek zie je dit doordat bij x=-2 de helling aan de linker kant anders is dan de helling aan de rechter kant. Er zit een knik in de grafiek. Voor het tekenschema bereken je weer waar f'(x)=0. Je vindt x=(1-√13)/3 en x=(1+√13)/3. Bepaal dan het teken op de volgende intervallen: x $<$ -2 -2 $<$ x $<$ (1-√13)/3 (1-√13)/3 $<$ x $<$ (1+√13)/3 (1+√13)/3 $<$ x $<$ 2 x $>$ 2 Bedenk: bij x=-2 en x=2 bestaat f'(x), niet, dus hier geen teken.
Voor het tekenverloop van f''(x) ga je op gelijksoortige wijze te werk: Bepaal f''(x), zoek nulpunten, bedenk dat f''(x) niet bestaat bij x=-2 en x=2, en bepaal het teken op elk relevant interval.
