\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 96980

Re: Inhoud cilinder met afgeplat onderzijde

Ik heb nu de oplossing voor deze cilinder dank hiervoor.
Is deze ook generiek te maken waarbij de diameter en helling/afplatting ook variabelen zijn?

Dan kan ik deze verkregen formule ook in andere situaties toepassen.

Groet,
Jan

Jan
Iets anders - vrijdag 13 mei 2022

Antwoord

We noemen de straal van de cilinder $R$ en we noteren de helling van het
grondvlak als~$\frac1a$ (dat maakt de formules straks iets makkelijker). In de vorige vraag hadden we dus $R=150$ en $a=20$.

Dan heeft het grondvlak de vergelijking $z=\frac1a(x+R)$. De maximale hoogte van het grondvlak is dan $\frac2aR$, bij $x=R$.

De plak op hoogte $z\le\frac2aR$ wordt dan bepaald door $x^2+y^2\le R^2$ èn $x\le az-R$.
De oppervlakte van zo'n plak is dan gelijk aan
$$\mathrm{Opp}(z)=\int_{-R}^{az-R}2\sqrt{R^2-x^2}\,\mathrm{d}x
$$met behulp van een tabel of door partiële integratie vinden we dat de integraal gelijk is aan
$$\begin{aligned}
\left[x\sqrt{R^2-x^2}+R^2\arcsin\frac x{R}\right]_{-R}^{az-R} & =
(az-R)\sqrt{R^2-(az-R)^2}\\
&\qquad{}+R^2\arcsin\frac{az-R}{R}+R^2\cdot\frac\pi2
\end{aligned}
$$Het volume $V(h)$ is voor $h\le\frac2aR$ dan gelijk aan
$$\int_0^h\mathrm{Opp}(z)\,\mathrm{d}z
$$met wat werk, of met behulp van tabellen, wordt dit
$$\begin{aligned}
V(h)&=\frac{R^2\pi}{2}h-\frac1{3a}\bigl(R^2-(ah-R)^2\bigr)^{\frac32}\\
&\qquad{}+
\frac{R}a\times R^2\left(\frac{ah-R}{R}\arcsin\frac{ah-R}{R}+
\sqrt{1-\left(\frac{ah-R}{R}\right)^2}+\frac\pi2\right)
\end{aligned}
$$Dit kan wat opgeknapt worden tot
$$\begin{aligned}
V(h)&=\frac{R^2\pi}{2}h-\frac1{3a}\bigl(2ah(R-ah)\bigr)^{\frac32}\\
&\qquad{}+
\frac{R^2}a\left((ah-R)\arcsin\frac{ah-R}{R}+
\sqrt{2ah(R-ah)}+\frac\pi2R\right)
\end{aligned}
$$Als $h=\frac2aR$, ofwel $ah=2R$, dan krijgen we $\frac{ah-R}{R}=1$ en dan is $V(h)$ precies gelijk aan de helft van het volume van de cilinder met straal~$R$ en hoogte $\frac2aR$, dus $V(\frac2aR)=\pi\cdot R^2 \cdot \frac Ra$. Voor $h\ge\frac2aR$ hebben we
$$V(h)=\frac\pi aR^3+\pi\cdot R^2\cdot\left(h-\frac2aR\right)=
\pi R^2\left(h-\frac Ra\right)
$$

kphart
vrijdag 13 mei 2022

©2001-2024 WisFaq