\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 93549

Re: Re: Re: Convergentie vraagstuk

wat bedoel je met "dat wat je gevonden hebt ook echt werkt".
als p$>$1 dan convergeert de reeks toch ? en p$\le$1 divergeert.
Deze testen zijn inderdaad voor reeksen met positieve termen. Anders moet je idd nog kijken naar de reeks van absolute waarde maar in dit voorbeeld gaat het over positieve termen. Ik heb het al de hele tijd over convergentietesten van reeksen.

Het vorige voorbeeld geef ik toe dat ik fout was. Maar in dit geval lim n $\to $ $\infty $ (1/n )/(1/ln(cosh(n))) toch 1 dus de asymptotische equivalentie klopt toch ?

Mike
Student universiteit België - vrijdag 15 april 2022

Antwoord

Er zijn twee dingen door elkaar gaan lopen.

1. Convergentiecriteria voor reeksen, zoals:
a. Als twee rijen met positieve termen, $a_n$ en $b_n$, asymptotisch equivalent zijn dan geldt: de reeks $\sum_na_n$ convergeert dan en slechts dan als $\sum_nb_n$ convergeert en hiervan afgeleid:
b. als $a_n$ asymptotisch equivalent is met $C/n^p$ dan is $\sum_na_n$ convergent dan en slechts dan als $p $>$ 1$.

2. Voor een reeks met `ingewikkelde' termen een asymptotisch equivalente reeks zoeken met `makkelijkere' termen. In je vraag gebruikte je in je zoektocht naar die `makkelijkere' reeks eigenschappen van asymptotische equivalentie die niet algemeen geldig zijn.
Daarom schreef ik dat als je (op je kladpapier) ets van de vorm $C/n^p$ gevonden hebt je moet laten zien dat het echt werkt; en met dat laatste bedoelde ik niet dat $\sum_n n^{-p}$ convergeert voor $p $>$ 1$, maar dat inderdaad
$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{Cn^{-p}}=1
$$en in dit geval dus expliciet nagaan dat die $1/n$ correct is en dat
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\cosh n}{n^{-1}}=1
$$je stappen onderweg garanderen niet dat dat automatisch het geval is.

kphart
zaterdag 16 april 2022

Re: Re: Re: Re: Convergentie vraagstuk

©2001-2024 WisFaq