Goede avond Jan en KP, De uitleg van KP ligt een beetje moeilijk en graag nog wat uitleg. Andere oefening (tweede)zonder problemen opgelost. Goede nacht Rik
Rik Le
Iets anders - zaterdag 2 april 2022
Antwoord
We beginnen met $$\int\frac1{x\sqrt{x^2+x+1}}\,\mathrm{d}x $$De eerste stap is kwadraat afsplitsen in $x^2+x+1$; dat wordt $\eqalign{(x+\frac12)^2+\frac34}$. Vervang $\eqalign{x+\frac12}$ door $y$: $$\int\frac1{(y-\frac12)\sqrt{y^2+\frac34}}\,\mathrm{d}y $$Je kunt de wortel iets mooier maken door $\eqalign{y=\frac{\sqrt3}{2}z}$ te nemen: dan $\eqalign{y^2+\frac34=\frac34z^2+\frac34=\frac34(z^2+1)}$; er komt $$\int\frac1{\frac{z\sqrt3-1}2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\sqrt{z^2+1}} \frac{\sqrt3}2\,\mathrm{d}z =\int\frac2{z\sqrt3-1}\cdot\frac1{\sqrt{z^2+1}}\,\mathrm{d}z $$Nu bekijken we deze driehoek: We substitueren $z=\tan t$. Dan krijgen we ook $\eqalign{\frac1{\sqrt{z^2+1}}=\cos t}$ en $\eqalign{\mathrm{d}z=\frac1{\cos^2t}\,\mathrm{d}t}$. Er komt $$\int\frac2{\sqrt3\tan t-1}\cdot\cos t\cdot\frac1{\cos^2t}\,\mathrm{d}t =\int\frac2{\sqrt3\sin t-\cos t}\,\mathrm{d}t $$Voor dit soort integralen is $u=\tan\frac12t$ een veelgebruikte substitutie. Nu krijgen we $\eqalign{\sin\frac12t=\frac u{\sqrt{u^2+1}}}$ en $\eqalign{\cos\frac12t=\frac1{\sqrt{u^2+1}}}$ en door de verdubbelingsformules vinden we $$\sin t=\frac{2u}{u^2+1},\qquad \cos t=\frac{1-u^2}{1+u^2}, \quad\text{ en }\quad \tan t=\frac{2u}{1-u^2} $$Met $t=2\arctan u$ komt er uiteindelijk $$\int \frac2{\frac{2\sqrt3u}{1+u^2}-\frac{1-u^2}{1+u^2}}\cdot \frac2{1+u^2}\,\mathrm{d}u= \int \frac4{u^2+2\sqrt3u-1}\,\mathrm{d}u $$De noemer kunnen we ontbinden als $(u+\sqrt3-2)(u+\sqrt3+2)$ en daarmee kunnen we de integraal schrijven als: $$\int \frac1{u+\sqrt3-2}-\frac1{u+\sqrt3+2}\,\mathrm{d}u $$De primitieve wordt dus $$\ln(u+\sqrt3-2)-\ln(u+\sqrt3+2) $$of $$\ln\left(\frac{u+\sqrt3-2}{u+\sqrt3+2}\right) $$Nu terugwerken. Merk op dat we hebben gezien dat $\eqalign{z=\tan t=\frac{2u}{1-u^2}}$, hiermee kunnen we $u$ in $z$ uitdrukken: we lossen $$zu^2+2u-z=0 \text{ of } u^2+\frac2zu-1=0 $$op: kwadraat afsplitsen geeft $$\left(u+\frac1z\right)^2-\frac{z^2+1}{z^2}=0 $$en dus $$u=-\frac1z\pm\frac1z\sqrt{z^2+1} $$Omdat $u$ en $z$ hetzelfde teken moeten hebben nemen we $$u=\frac1z\bigl(\sqrt{z^2+1}-1\bigr) $$Nu nog netjes $\eqalign{z=\frac2{\sqrt3}(x+\frac12)}$ invullen en uitwerken.
NB we hadden de substituties $z=\tan t$ en $u=\tan\frac12t$ in een keer kunnen doen, met behulp van $\eqalign{z=\frac{2u}{1-u^2}}$ en $\eqalign{u=\frac1z\bigl(\sqrt{z^2+1}-1\bigr)}$, maar dat is wat onoverzichtelijker. Het zou wel een goede oefening in netjes werken zijn.
Dit is een reactie op vraag 93507 
