\require{AMSmath}

Kransen van regelmatige veelhoeken

Ik probeer te komen op welke veelhoeken een krans hebben die ook een veelhoek is. Ik weet al dat bij een 6-hoek, 8-hoek en 12-hoek het wel gaat. Maar heb al geprobeerd bij veelhoeken tot 20 en heb nog altijd geen nieuwe gevonden. Welke zijn er nog? En welk verband hebben ze, dus zegmaar wat is de 'regel'.

tim
3de graad ASO - zondag 13 maart 2022

Antwoord

Kijk eerst naar dit antwoord. De formule die daar afgeleid wordt is dus (ik vervang $180^\circ$ door $\pi$, het is tenslotte $\pi$-dag vandaag).
$$\alpha+(n-2)\beta=(n-3)\cdot\pi
$$Maar $\beta$ is de hoek in een regelmatige $n$-hoek, dus $n\cdot\beta=(n-2)\cdot\pi$, ofwel $\beta=\frac{n-2}{n}\pi$.

De formule wordt dus
$$\alpha=(n-3)\cdot\pi -\frac{(n-2)^2}{n}\cdot\pi
$$Dat kun je vereenvoudigen tot $\alpha=\frac{n-4}{n}\pi$.
Maar er is ook een natuurlijk getal $m$ zo dat $m\alpha=2\pi$.
We zien dus een betrekking tussen $m$ en $n$:
$$\frac{2\pi}{m}=\frac{n-4}{n}\pi
$$of
$$m=\frac{2n}{n-4} = 2+\frac8{n-4}
$$Hieruit volgt dat $n-4$ een deler van $8$ moet zijn, dus $n=5$, $n=6$, $n=8$, of $n=12$.

De veelhoeken die je gevonden hebt zijn dus de enige die er zijn.

kphart
maandag 14 maart 2022

©2001-2024 WisFaq