Maar als de verzameling C zoals gedefiniëerd in het boek een verzameling van getallenparen is, hoe kan dan tegelijkertijd de verzameling C een verzameling zijn van reële getallen inclusief het getal i, waarvoor alleen maar geldt dat i2=-1?
Verder is er toch een probleem met het plus-teken. Immers in de uitdrukking (a,b)+(d,c) betekent het plus-teken heel iets anders dan in de uitdrukking a+b.
Hadden ze in het boek niet beter C eerst kunnen definiëren als de verzameling van reële getallen inclusief het getal i, waarvoor alleen maar geldt, dat op i elke bewerking toegelaten is, die ook toegelaten is op elk reëel getal en waarvoor tevens geldt, dat i2=-1. In deze verzameling worden de reële getallen evanals het getal i opgevat als enkelvoudige getallen en dus niet als getallenparen.
Daarna hadden ze de verzameling van getallenparen zoals in het boek gegeven kunnen defeniëren als en andere, maar wel overeenkomstige verzameling. Het doel van zo'n verzameling van getallenparen is eigenlijk alleen maar om te laten zien, dat een getal als i logisch mogelijk is.
Ad van
Docent - zondag 19 december 2021
Antwoord
1. De verzameling $\{(a,0):a\in\mathbb{R}\}$ is isomorf met $\mathbb{R}$ en een wiskundige maakt in het algemeen geen onderscheid tussen isomorfe structuren. Verder geldt $(1,0)\cdot(a,b)=(a,b)$, dus $(1,0)$ gedraagt zich inderdaad als $1$. We kunnen dus schrijven $(a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi$. Dus $\mathbb{C}$ bevat (een isomorfe kopie van) $\mathbb{R}$, een een individu (namelijk $(0,1)$) dan we $i$ hebben genoemd.
Overigens gaat de eerste vraag voorbij aan de kwestie van het bestaan van "het getal $i$". Mijn tegenvraag: wat is die $i$ dan?
2. Wat de $+$ (en ook $\times$) betreft: de meeste studenten kunnen de tekens wel in de juiste context plaatsen. Optelling van getallen $a+b$ versus optelling van vectoren $(a,b)+(c,d)$. Dat gezegd hebbende was het beter geweest eventjes $(a,b)\oplus(c,d)$ (en $(a,b)\otimes(c,d)$ te gebruiken en als vastgesteld was dat alles goed gaat aankondigen: "nu gebruiken we weer gewoon $+$ en $\times$".
3. Niet als je het netjes wilt doen. Wat is $i$ dan? Wat voor ding is $bi$? Wat voor ding is $a+bi$? Is het wel een verzameling die je zo maakt? En, nee, de getallenparen zijn "niet alleen maar om te laten zien dat $i$ logisch mogelijk is". Dat voorgaande spel met die dingen van de vorm $a+bi$ is in feite een zoektocht naar de axioma's (en hun gevolgen) waar de complexe getallen aan moeten voldoen; de verzameling paren is dan een model voor die axioma's.
Daar komt bij dat het werken met die paren de complexe getallen en de meetkunde verbindt. Caspar Wessel definieerde de optelling en vermenigvuldiging van punten/vectoren in het vlak geheel meetkundig en liet zien dat deze bewerkingen de complexe getallen opleveren.
Dit is een reactie op vraag 93116 
