\require{AMSmath}

Regel van L`Hôpital gebruiken

Beste

Als taak heb ik deze opgave:

Lim x\to \pi/2 = (sin x - cos x)^{tan x}

Ik heb het al proberen oplossen via de regel ln (f(x)) = tan x × ln (sin x- cos x)

Hierbij kom ik e⁰ uit, maar het zou e^-1 moeten zijn. Hoe kan ik dit wel juist oplossen?

Alvast bedankt

Hanne
3de graad ASO - maandag 15 november 2021

Antwoord

Je kunt er dit van maken, door eerst \ln(\sin x-\cos x) te schrijven als
\ln\sin x+\ln(1-\frac1{\tan x}):

\tan x\cdot\ln\sin x +\tan x\cdot\ln\left(1-\frac1{\tan x}\right)

De tweede term kun je omwerken dor u=1/\tan x te substitueren; als x\to\pi/2 dan u\to0, dus daar komt

\lim_{u\to0}\frac{\ln(1-u)}u

en dat zou een bekende moeten zijn.
De eerste heeft een trucje nodig:

\ln\sin x=\frac12\ln\sin^2x=\frac12\ln(1-\cos^2x)

Er komt dus

\frac12\sin x\cdot\left(\frac{\ln(1+\cos x)}{\cos x}+\frac{\ln(1-\cos x)}{\cos x}\right)

De limiet van \sin x is gelijk aan 1, en tussen de haken krijg je 1-1=0.

kphart
maandag 15 november 2021

©2001-2025 WisFaq