\require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking met gegeven integratie factor

Goede middag,
Gegeven is DV:
xy'=y(1-xtan(x) +x²cos(x).De IF =1/xcos(x) is ook gegeven
Oplossing zou zijn:
y=x²cosx+Cxcos(x)
Ik rekende de geven DV wat na en deelde eerst door de IF.
We bekomen dan y'/cox(x)= y(1-xsin(x)/cos(x))/(xcos(x))+x
we vermenigvuldigen met cos(x) en krijgen dan:
y'=y{(cos(x)-xsin(x)):(xcos(x)}+xcos(x)
dy-{y(1/(x)-tan(x)}dx=xcos(x)dx
y=ydx/x+d(cos(x)/(cos(x))+xcos(x)dx
y=yln(x)+ln(cos(x)+[xsin(x)-INT(sin(x)dx
y=yln(x)+lncos(x)+xsin(x)+cos(x)+C
Dit resultaat ligt ver van de gegeven oplossing hierboven.
Moest ik eerst niet het eerste deel nul stellen en oplossen en dan het tweede lid
Dan zou ik oor het 1 ste lid krijgen.
y'/y=INT (dx/x)+INTd(cos(x)/cosx
ln(y)= ln(x) +ln(cos(x))
ln(y)= ln(x.cos(x))
y=xcos(x). Maar dat zie ik ook in de oplossing staan hierboven voorafgegaan door een constante C
Hert loop weer niet goede vrees ik..
IK zie het niet goed meer en graag wat hulp als iemand wat tijd kan vinden !.
Groeten

Rik Le
Iets anders - vrijdag 12 november 2021

Antwoord

De fout zit aan het begin: de integrerende factor hoort niet bij de DV zoals je hem opgeschreven hebt. Deel eerst door $x$, en breng de term met $y$ naar links, dan krijg je
$$y'+\left(\tan(x)-\frac1x\right)\cdot y=x\cos(x)
$$Als je $\tan x-\frac1x$ primiveert komt er $-\ln\cos x -\ln x=-\ln(x\cos x)$. Daar de $e$-macht van is de gegeven integrerende factor. Je moet dus de omgewerkte DV door die factor delen:
$$\frac1{x\cos x}\cdot y'+\left(\frac{\sin x}{x\cos^2x}-\frac1{x^2\cos x}\right)\cdot y=1
$$En we weten dat er links de afgeleide van $y/(x\cos x)$ staat, dus het probleem ziet er nu zo uit:
$$\left(\frac y{x\cos x}\right)' = 1
$$

kphart
vrijdag 12 november 2021

©2001-2024 WisFaq