Als f continu is in [a,b] en f(a).f(b) $<$ 0 dan bestaat er een punt m element van ]a,b[ zodanig dat f(m) = 0
In een wiskundeboek vond ik hiervoor het volgende bewijs :
Stel we hebben de situatie waarbij f(a) $<$ 0 en f(b) $>$ 0
Beschouw de verzameling D = {x element [a,b];f(x) $<$ 0}
D =/= {} want a element van D D is gemajoreerd want b element van majD De verzameling D heeft dus een supremum. We noemen dat supremum m en tonen aan dat f(m) = 0 1) Veronderstel f(m) $<$ 0, dan is er volgens een voorgaande stelling een interval ]m-delete,m+delta[ waarvoor f(x) $<$ 0. Er bestaat dus een p met de volgende eigenschappen : p element van [a,b], m $<$ p en f(p) $<$ 0. Dit is in strijd met supD = m. 2) Veronderstel f(m) $>$ 0, dan bestaat er een interval ]m-delta,m+delta[ waarin f(x) $>$ 0 en waarin dus geen enkel punt van D gelegen is.Dit is in strijd met supD = m want supD zou dan kleiner zijn dan m.
Vraag : is dit een bewijstechniek op basis van contrapositie ?
definieer daarvoor volgende uitspraken :
p : m = supD en notp : m =/= supD q : f(m) = 0 en notq : f(m) =/= 0
Te bewijzen : p -$>$ q via contrapositie notq -$>$ notp aangezien (p -$>$ q) $\le$$>$ (notq -$>$ notp) m.a.w als f(m) =/= 0 dan m =/= supD is equivalent met als m = supD dan f(m) = 0
Met dank
Rudi
Rudi
Ouder - woensdag 3 november 2021
Antwoord
Ik zou het zelf eerder gevalsonderscheiding noemen, gepaard met het ongerijmde.
We weten dat één van de volgende drie mogelijkheden zich voordoet: $f(m)$<$0$, $f(m)=0$, of $f(m)$>$0$. Het argument laat zien dat de eerste en de derde tot tegenspraak leiden, dus de tweede blijft over.
