\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 92831

Re: Definitie van continuïteit

Maar waarom zijn topologische ruimten of maw het hanteren van open verzamelingen binnen de algemene definitie van continuïteit zo essentieel?

Rudi
Ouder - woensdag 3 november 2021

Antwoord

Daar is men al experimenterend op uitgekomen.

Eerst was er continuïteit voor functies van $\mathbb{R}$ naar zichzelf, waarbij uiteindelijk de formulering door Weierstrass met $\varepsilon$ en $\delta$ de formulering is geworden. Vrij snel werd dat ook voor hogere machten van $\mathbb{R}$ gebruikt.

Begin vorige eeuw stelde Fréchet vast dat in veel situaties iets een rol speelde dat wij nu een metriek noemen, en daar werkte de definitie nog steeds prima.

Hausdorff stelde het omgevingsbegrip centraal maar zijn lijstje regels was een beetje lang; het lijstje regels voor de open verzamelingen is wat korter en daarom zijn die de boventoon gaan voeren.

De formuleringen in termen van open verzamelingen zijn een natuurlijk uitvloeisel van al het eerdere werk. En het werkt.

kphart
woensdag 3 november 2021

©2001-2024 WisFaq