\require{AMSmath}

Huygens

A en B hebben elk 12 penningen en spelen met 3 dobbelstenen onder deze voorwaarden: als er 11 ogen geworpen worden, dan meot A een penning aan B geven; als er 14 ogen geworpen worden, dan moet B een penning aan A geven; diegene zal het spel winnen, die het eerst alle penningen zal hebben gekregen.

Volgens ons:
de kans van A op 11 ogen is 27/216
de kans van B op 14 ogen is 11/216

Vraag:
Wat de kans van A tot die van B?

Jan Na
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 1 april 2003

Antwoord

Uit de vraagstelling haal ik eerder dat het niet uitmaakt wie er de dobbelstenen gooit, enkel het resultaat van de worp telt. De kans op 11 ogen is dan inderdaad 27/216, de kans op 14 ogen is echter 15/216 en niet 11/216.

Wat bedoel je met "de kans van A tot die van B"? Om uiteindelijk het spel te winnen? Dat is een gekend probleem.Als je geinteresseerd bent, zoek dan verder op termen als "Gambler's Ruin" en "(discrete) random walks"

Wanneer een penning van eigenaar verandert, noemen wedat een "gebeurtenis". De meeste worpen zijn niet 11 of 14 en zullen dus geen gebeurtenis zijn. Bij elke gebeurtenis verandert het aantal penningen van speler A: ofwel 1 groter met kans a ofwel 1 kleiner met kans b=1-a. In jouw spel isa=15/(15+27) en b=27/(15+27).

Noem P(k) de kans dat A het spel wint als je weet dat hij k penningen heeft. Dan is voor algemene k:

P(k) = a P(k+1) + b P(k-1)

De algemene oplossing van die differentievergelijking kan jedoor wat proberen zelf vinden (er bestaan ook technieken voor)

P(k) = m + n (b/a)^k

De getallen m en n kan je vinden door in de vorige uitdrukking te stellen dat P(0)=0 en P(24)=1 (iemand die geen penningen heeft, kan uit die positie nooit winnen, en iemand die ze allemaal heeft is kan de overwinning niet meer missen).

De kans dat speler A wint is dan

P(12)
= [1-(b/a)^12] / [1-(b/a)^24]
= 244140625 / 282673677106
= .0008636836

De kans dat speler B wint is dan
1-P(12)
= .9991363164

Speler B heeft dus ongeveer 1156 keer meer kans om het spel te winnen dan speler A.

cl
dinsdag 1 april 2003

©2001-2024 WisFaq