Ik ga van het MBO naar het HBO en ben druk bezig met wiskunde verbeteren. Echter loop ik vast met het oplossen van een gebroken vergelijking met de factorstelling..
De opgave is :
a3+8·a2+11·a-20 ----------------- = 0 a-1
Nu kan ik met de factorstelling deze vergelijking oplossen..
Het gaat dan als volgt
(a-1)·(a2+p·a+q) = a3+8·a2+11·a-20
nu heb ik waarschijnlijk een domme vraag maar ik begrijp niet waar de (a2+p·a+q) vandaan komt.
De formule van de factorstelling is p(x)=(x-a)·(...)
De vraag is dus eigenlijk waar ze de (....) vandaan halen en hoe ze deze invullen..
Ik hoor het graag!
Melvin
Student hbo - dinsdag 24 augustus 2021
Antwoord
Hallo Melvin,
Als je op de een of andere manier hebt gevonden dat a3+8a2+11a-20 gelijk wordt aan nul voor a=1, dan zegt de factorstelling dat je de factor (a-1) buiten haakjes kunt halen. Binnen haakjes blijft dan een kwadratische formule over. De algemene vorm van die kwadratische formule is:
a2+pa+q
De kunst is nu om de juiste waarden voor p en q te vinden. Dit doe je door de haakjes weer weg te werken, en het resultaat gelijk te stellen aan je oorspronkelijke derdegraads-formule. Ofwel, er moet gelden:
(a-1)(a2+pa+q)=a3+8a2+11a-20
Haakjes wegwerken levert:
a3-a2+pa2-pa+qa-q=a3+8a2+11a-20
Beetje sorteren:
a3 + (p-1)a2 + (q-p)a - q = a3+8a2+11a-20
Alle coëfficiënten moeten kloppen, dus:
p-1=8 q-p=11 q=20
Uit de eerste vergelijking volgt: p=9. Met q=20 levert dit:
a3+8a2+11a-20=(a-1)(a2+9a+20)
Het laatste deel kan je opnieuw ontbinden, hiermee wordt dit:
a3+8a2+11a-20=(a-1)(a+4)(a+5)
De teller van je oorspronkelijke breuk wordt nul voor a=1, a=-4 en a=-5. Echter, voor a=1 wordt de noemer ook nul, dan is de breuk niet gedefinieerd. Oplossingen zijn dus a=-4 en a=-5.
