Vergelijking van een raaklijn aan een geparametriseerde kromme
Hallo,
De opgave luidt als volgt: Bepaal de parametervergelijking van de raaklijn aan de geparametriseerde kromme met vergelijking vector x = vector f(t) in het punt (2,-4,1). De functie is gegeven door vector f : R $\to$ R3 : t $\to$ (t,-t2,1).
Ik ben dus begonnen met de formule die in mijn cursus staat:
vector x = vector f (t) + u · vector f'(t) met u element van R
Voor x vond ik de vergelijking x = 2 + u door de functiewaarde van 2 te nemen vector f(2) = t en vector f'(t)=1 en in te vullen.
Voor z was het gemakkelijk aangezien de functiewaarde steeds 1 is en de afgeleide nul.
Maar het probleem situeert zich voor mij bij de vergelijking voor y. Als ik de strategie volg die ik gebruikt heb bij x kom ik de volgende vergelijking uit: y= -16 + 8u . Echter volgens de oplossingen die ik voorhanden heb zou de vergelijking y= -4 - 4u moeten zijn. En ik heb geen idee of de oplossing fout is of ik een fout aan het maken ben...
Hulp wordt enorm geapprecieerd!
PS: overal waar er staat 'vector' gevolgd door een letter zou er die letter moeten staan met een pijltje boven, ik vond niet hoe ik dat moest typen.
Emile
Student universiteit België - woensdag 4 augustus 2021
Antwoord
Beste Emile,
Waar het precies verkeerd loopt kan ik niet zien want je toont niet hoe je aan die -16+8u komt. Inderdaad geldt $f(2)=(\color{blue}{2},\color{blue}{-4},\color{blue}{1})$ dus $t=2$.
Voor de afgeleide: als $f(t)=(t,-t^2,1)$, dan is $f\,'(t)=(1,-2t,0)$ en dus geldt in $t=2$ dat $f\,'(2)=(\color{red}{1},\color{red}{-4},\color{red}{0})$ waaruit niet alleen $x=\color{blue}{2}+\color{red}{u}$ maar ook $y=\color{blue}{-4}\color{red}{-4u}$ (en $z=\color{blue}{1}$) volgt.
