\require{AMSmath}

Torens bouwen met blokken

Pitty's grote droom is om ooit een beroemde architect te worden. Later wil hij een enorme toren ontwerpen die hem wereldberoemd zal maken. Daarom oefent en bouwt hij elke dag vele torens met zijn bouwstenen.

Zijn recordhoogte tot nu toe is 23 cm. Hij heeft maar een oneindig aantal rode bouwstenen van 1 cm hoog, en blauwe bouwstenen van 2 cm hoog.

Op een nacht, toen hij niet kon slapen, wordt hij wakker gehouden door de gedachten over hoe hij zijn torens moet ontwerpen.

Hij bedenkt hoeveel verschillende torens van 23 cm hoog hij zou kunnen bouwen met deze 2 soorten bouwstenen.

Kun jij hem helpen om dat uit te zoeken?

Nummer = A-B-C-D-E

Joland
Iets anders - woensdag 28 juli 2021

Antwoord

Denk aan de rij van Fibonacci. Om de torens van hoogte $23$ te tellen verdeel je ze in twee groepen: met een rode steen boven en met een blauwe steen boven. De eerste groep bestaat eigenlijk uit alle torens van hoogte $22$ en de twee uit alle torens van hoogte $21$.

In formulevorm krijg je dus $T_{23}=T_{22}+T_{21}$.

Maar dit geldt voor elke hoogte, dus algemeen $T_k$, het aantal torens van hoogte $k$, is gelijk aan de som van $T_{k-1}$ en $T_{k-2}$.
Dus
$$T_k=T_{k-1}+T_{k-2}
$$en
$$T_1=1 \text{ en } T_2=2
$$Dus $T_{23}$ is het $23$-ste Fibonaccigetal.

kphart
woensdag 28 juli 2021

©2001-2024 WisFaq