Op een prisma met brekingshoek $\alpha$ valt een monochromatische lichtstraal met invalshoek i. Welk verband bestaat er tussen i en r als de deviatie minimaal is?.
Hoe stel ik de functie samen die moet onderzocht worden? Als ik daarmee op weg ben, zal het wel lukken om de afgeleiden te zoeken en te interpreteren.
Met vriendelijke groeten,
Rik Le
Iets anders - dinsdag 30 maart 2021
Antwoord
Hallo Rik,
Ik neem aan dat je met $\alpha$ de tophoek van het prisma bedoelt. In dat geval is de gang van een lichtstraal weergegeven door de figuur hieronder:
De hoek tussen normaal en invallende lichtstraal noem ik i, de hoek tussen normaal en uittredende lichtstraal noem ik r. De hoeken a en b zijn de hoeken tussen normaal en lichtstraal binnen het prisma.
De hoeken in vierhoek TASB zijn samen 360°. Bij A en B vinden we twee keer 90°, dan volgt hieruit:
hoek S = 180-$\alpha$
In driehoek ASB geldt: a+b+hoek S = 180° Hieruit volgt: b=$\alpha$-a
Nu gaan we de Wet van Snellius toepassen. Bij de invallende lichtstraal links geldt:
(n is de brekingsindex van het materiaal). Bij de uitvallende lichtstraal rechts vinden we:
In de figuur zie je dat de totale deviatie (afbuiging van de lichtstraal) de som is van i en r. We moeten dus het minimum vinden van de deviatie d(a):
Zorgvuldig differentiëren, met kettingregel en zo, levert:
Om het minimum te vinden, stellen we d'(a)=0. Dit levert:
Het zal niet meevallen om deze vergelijking op te lossen. Echter, met wat natuurkundig en/of wiskundig inzicht vinden we deze toch vlot:
Natuurkundig inzicht: De gang van een lichtstraal is omkeerbaar. Dat betekent: als bij een zekere hoek van inval i en een zekere hoek van uittreding r de deviatie minimaal is, dan moet dit ook gelden wanneer we de lichtstraal in tegenovergestelde richting door het prisma sturen. Ofwel: i en r moeten verwisseld kunnen worden, dus: i=r. Dan geldt ook: a=b, dus:
a = $\alpha$-a a = $\alpha$/2
Wiskundig inzicht: In de laatste vergelijking lijken de uitdrukkingen links en rechts sterk op elkaar. Wanneer we kiezen: a=$\alpha$/2, dan worden beide leden van de vergelijking gelijk aan elkaar.
Kortom: bij a=$\alpha$/2 vinden we een minimale waarde voor de deviatie. De relatie tussen i en r vinden we door deze waarde in te vullen in de Wet van Snellius. We vinden:
