\require{AMSmath}

Een differentiaalvergelijking oplossen

Hoe los je de DV f'(x)+3f(x)=1 op?
Ik heb problemen met die 1

nico v
Docent - maandag 8 februari 2021

Antwoord

Het is een lineaire vergelijking; die gaat meestal in drie stappen.
1. Los de homogene op: f'+3f=0 (algemene oplossing f_h(x)=Ce^{-3x}, met C een vrij te kiezen constante)
2. Zoek één (particuliere) oplossing f_p van de vergelijking zelf; hier kun je met een scheef oog zien dat de constante functie f_p(x)=\frac13 een oplossing is.
3. Combineren, wegens de lineariteit is elke oplossing van de vorm f(x)=f_p(x)+f_h(X), dus de algemene oplossing is f(x)=\frac13+Ce^{-3x}, met C vrij te kiezen (die hangt meestal van een beginvoorwaarde af).

Ad 2: daar zijn ook gerichte methoden voor: variatie van constante (probeer f_p van de vorm C(x)\cdot e^{-3x}, na invullen komt er een primitiveerprobleem voor C'), of integrerende factor (vermenigvuldig de hele vergelijking met e^{3x}, en herken links de afgeleide van f(x)\cdot e^{3x}, dan heb je weer een primitiveerprobleem).

kphart
maandag 8 februari 2021

©2001-2025 WisFaq