\require{AMSmath}

Nogmaal viervlaks- en achtvlaksdobbelsteen

Ik val je nog een keer lastig met mijn probleem, mede omdat ik om mijn laatste mail nog geen reactie heb gekregen.

Ik zal mijn probleem nog 1 keer uiteen zetten, met de vorderingen van mij zelf er bij.

Het gaat om een spelletje waarbij je twee viervlaksdobbelstenen ( met de cijfers 1-4) hebt en 1 achtvlaksdobbelsteen ( met de cijfers 1-8).

Als eerste gooi je met de achtvlakdobbelsteen. Vervolgens gooi je met de viervlakdobbelstenen ( volgorde maakt dus NIET uit). Het verschil tussen het aantal ogen van de achtvlakdobbelsteen en de som van het aantal ogen van de viervlakdobbelstenen zijn de score die je krijgt.

( vb. je gooit met de achtvlakdobbelsteen een 7, met de viervlakdobbelstenen een 3 en een 2 ( = 5). Het verschil tussen de dobbelstenen is dan 2 ( 7-5). Dat is de score die je hebt dan.)

Wanneer je boven de 15 punten komt ( dus 16) ben je 'af'. ( lig je uit het spel).

De vraag is dan, wat de kans is dat je BINNEN 5 ( dus 4 of minder beurten) af bent.

Ik dacht dit als volgt te berekenen: Het aantal mogelijkheden dat je in 1-2-3-4 beurten BOVEN de 15 punten haalt, te delen door het TOTAAL aantal mogelijkheden( van VERSCHIL TUSSEN DE DOBBELSTENEN) wat je kunt gooien.

voor het eerste deel van de berekening heb ik dit gevonden: dit zijn alle mogelijkheden van het VERSCHIL wat je moet gooien. ( dus als er een 6 staat, is dat het maximale verschil, als er een vijf staat is dat bijvoorbeeld een 7 ( achtvalkdobbelsteen) en twee énen ( viervlakdobbelsteem). Het verschil is dan 7-2 = 5.

Achteraan in de tabel staan alle mogelijkheden dat het gerankschikt kan worden. Want het haalt natuurlijk wél uit in welke volgorde je dit gooit. Wanneer je dit rijtje bij elkaar optelt kom je bij het aantal mogelijkheden dat je in 1-2-3-4 beurten 15 punten scoort.

het totaal aantal mogelijkheden wat je gooit is 7 x 7² x 7³ x 7⁴ (het aantal mogelijkheden van het verschil wat je kunt gooien is namelijk 7 ( o verschil, 1 verschil, 2 verschil... 7 verschil)

het eerste getal zou je dan moeten delen door het tweede getal.

Maar wat ik me dan onder andere afvraag is dat er toch heel veel mogelijkheden afvallen bij de vier beurten zeg maar. Want wanneer er bij de VIER beurten staat: 6-6-6-6 ( verschil) dan zou je ook al 15 punten hebben in drie beurten. Wat zijn dan de mogelijkheden dat je alle dingen kunt rangschikken? en welke vallen dan af?


IN VIER BEURTEN

6 6 6 6 .x 1
6 6 6 5 .x 4 boven 1
6 6 6 4 .x 4 boven 1
6 6 6 3 .x 4 boven 1
6 6 6 2 .x 4 boven 1
6 6 6 1 .x 4 boven 1
6 6 6 0 .x 4 boven 1
6 6 5 5 .x 4 boven 2
6 6 5 4 .x 8
6 6 5 3 .x 8
6 6 5 2 .x 8
6 6 5 1 .x 8
6 6 5 0 .x 8
6 6 4 4 .x 4 boven 2
6 6 4 3 .x 8
6 6 4 2 .x 8
6 6 4 1 .x 8
6 6 4 0 .x 8
6 6 3 3 .x 4 boven 2
6 6 3 2 .x 8
6 6 3 1 .x 8
6 6 2 2 .x 4 boven 2
6 5 5 5 .x 4 boven 1
6 5 5 4 .x 8
6 5 5 3 .x 8
6 5 5 2 .x 8
6 5 5 1 .x 8
6 5 5 0 .x 8
6 5 4 4 .x 8
6 5 4 3 .x 24
6 5 4 2 .x 24
6 5 4 1 .x 24
6 5 3 3 .x 8
6 5 3 2 .x 24
6 4 4 4 .x 4 boven 1
6 4 4 3 .x 8
6 4 4 2 .x 8
6 4 3 3 .x 8
IN DRIE BEURTEN
6 6 6 .x 1
6 6 5 .x 1 boven 3
6 6 4 .x 1 boven 3
6 6 3 .x 1 boven 3
6 5 5 .x 1 boven 3
HET KAN NIET IN 1-2 BEURTEN.

Ik hoop dat jullie er wat mee kunnen.. !

bvd

Elize
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 29 maart 2003

Antwoord

Hoi Elize,

Eerst een paar opmerkingen bij jouw oplossing:
- Je begint met 6-6-6-6, maar als je een 1 (met je achtvlak) en twee vieren gooit, is het verschil zeven, dus die moet je ook nog in je tabel opnemen.
- Ik zie je in je berekeningen nergens een onderscheid maken tussen de kans om met je viervlakken samen een 2 te gooien, of samen een 4 te gooien. Nochtans is de kans op een 2 slechts de kans op tweemaal een 1, dus 1 op 16. En de kans op een 4 is de kans op (1,3), of (2,2) of (3,1), dus 3 op 16. Zo is de kans op een resp. 2 t.e.m. 8: 1,2,3,4,3,2,1 op 16.
- Als gevraagd is wat de kans is dat je in vier beurten af bent, is het volgens mij niet nodig om de gevallen apart te bekijken waarin je in drie beurten af bent: bekijk gewoon je score na vier beurten, als je boven de 15 zit maakt het niet uit of je al na drie beurten boven de 15 zat, zie je?
- Je bent ook af als je op vijftien uitkomt, dus die gevallen moet je ook nog eens opnemen (je bent gestopt bij 16)
- In de gevallen aabc (bijvoorbeeld 6654) moet je niet maal acht doen, maar maal 12 want 4!/(2!1!1!) = 24/2 = 12

Anderzijds is je uitgangspunt wel goed: tel hoe vaak je af bent in vier beurten en deel door het totaal aantal mogelijkheden.
Voor dat eerste moet je dus inderdaad een tabel opstellen, maar nog iets nauwkeuriger: je hebt terecht het geval 6665 met vier vermenigvuldigd omdat ook 6566 kan en zo, maar je moet ook nog uitrekenen hoe vaak een verschil van 6 voorkomt, en hoe vaak een verschil van 5. Ik geef het voorbeeld voor 5: dit kan zijn
- 2 met je viervlakken, 7 met je achtvlak
- 3 met je viervlakken (twee mogelijkheden: 1,2 en 2,1) en 8 met je achtvlak
- 6 met je viervlakken (drie mogelijkheden: 2,4 en 3,3 en 4,2) en 1 met je achtvlak
- 7 met je viervlakken (twee mogelijkheden) en 2 met je achtvlak
- 8 met je viervlakken en 3 met je achtvlak.
Samen heb je dit dus in 9 gevallen!
En een zes heb je in 4 gevallen na een soortgelijke telling.

Het geval 6665 kan je dus op 4*4*4*9 manieren bekomen, en dit nog eens maal vier voor de volgorde (zie jouw tabel). Als je dit doet voor alle viertallen die 15 of hoger geven, heb je dus al je teller. Dit is niet zo omslachtig, want je moet enkel voor de verschillen nul tot zeven uitrekenen hoe vaak ze kunnen voorkomen.

Voor de noemer heb je het totaal aantal mogelijkheden nodig, en dat is niet 7*7²*... want ten eerste zijn er acht mogelijkheden (nul tot zeven) en ten tweede zijn niet alle mogelijkheden even waarschijnlijk. Het is evenwel (4*4*8)⁴ want voor het eerste viervlak heb je vier mogelijkheden, voor het tweede ook en voor het achtvlak heb je acht mogelijkheden. En je gooit vier keer, vandaar de macht. Merk op dat je dus niet gewoon het aantal mogelijke verschillen mag tellen omdat niet elk verschil even waarschijnlijk is.

Als je de teller en de noemer hebt uitgerekend hoop ik dat het quotiënt kleiner dan 1 is, anders was mijn redenering zeker fout...

Nog veel rekengenot, en als er iets onduidelijk is mail je maar terug.
Vriendelijke groeten,

Christophe
zaterdag 29 maart 2003

©2001-2024 WisFaq