\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 91010

Re: Re: De manteloppervlakte van een omwentelingslichaam

Ik ben volledig akkoord maar wat ik niet snap is dat je de inhoud ook kan berekenen als een som van de inhouden van kleine cilindertjes. En zo een een klein cilindertje heeft een grondvlak met een oppervlakte van $\pi$ maal $f(x)$ in het kwadraat en een hoogte van $dx$.

Dus is de totale inhoud ook de integraal van $\pi$ maal $f(x)$ in het kwadraat over een hoogte $h$. Deze redenering is toch juist (overgenomen uit cursus).

Als ik nu de zijdelingse oppervlakte wil zoeken bij wenteling van $f(x)$ om de $x$-as beschrijft elk rechthoekje toch ook een cilindertje met een hoogte van $dx$. De omtrek van dit kleine cilindertje is toch $2\pi$ maal $f(x)$. Dan is het product $2\pi$ maal $f(x)dx$ (een lintje rond de $x$-as met straal $f(x)$ en hoogte $dx$)

Waarom is de integraal van $2\pi f(x)dx$ over een hoogte $h$ dan NIET de manteloppervlakte? Wat is het dan wel? Wat is de fout in mijn redenering?

Eddy
Ouder - zaterdag 28 november 2020

Antwoord

Het probleem dat jij stelt heeft in feite niets van de integraal te maken, maar zit al de basisformules voor de inhoud en de manteloppervlakte van een afgeknotte kegel. Waarom moet men voor het berekenen van de inhoud rekening houden met de hoogte, en niet met de schuine zijde (apothema), en moet men bij de manteloppervlakte rekening houden met de schuine zijde en niet met de hoogte? Dat heeft met zuiver meetkundige afleidingen te maken.

De link naar de afleiding voor de formule van de inhoud vind je hieronder. De formule voor de afleiding voor de manteloppervlakte vind je eveneens op afleiden formule oppervlakte afgeknotte kegel.

Bij de integraalrekening worden deze formules omgezet volgens de infinitesimaalrekening (dus omgevormd voor zeer kleine toenames), zoals uitgelegd in het vorige antwoord.

Wat jij met de integraal 2$\pi$f(x)dx berekent is de (vlakke) oppervlakte onder de kromme, vermenigvuldigd met 2$\pi$. Dit heeft geen meetkundige betekenis.

Zie inhoud afgeknotte kegel

LL
maandag 30 november 2020

©2001-2024 WisFaq