\require{AMSmath}

Kleuren in bloemen voorkomen

Een plantenbak wordt met 4 bloemen op een rij gevuld. De bloemen zijn in 5 verschillende kleuren beschikbaar. Op hoeveel verschillende manieren kan deze bak opgevuld worden als elke kleur ten hoogste twee keer mag voorkomen?

Elke kleur komt 1x voor (ABCD): 5 · 4 · 3 · 2 = 120

Elke kleur komt 2x voor:
2 kleuren uitkiezen uit 5 verschillende kleuren: ₅C₂ = 10
Permutaties van vier bloemen op een rij (AABB)
(herhalingspermutatie): 4!/(2!·2!) = 6

Elke kleur komt 2x voor (andere mogelijkheid):
2 kleuren uitkiezen uit 5 verschillende kleuren: ₅C₂ = 10
Permutaties van vier bloemen op een rij (AAAB)
(herhalingspermutatie): 4!/(3!·1!) = 4

totaal: 120 + (10 · 6) + (10 · 4) = 220

Dit klopt niet met het antwoord in de verbetersleutel?

Fayçal
3de graad ASO - vrijdag 16 oktober 2020

Antwoord

Je mist de mogelijkheid $AABC$ waarbij één kleur twee keer voorkomt.
En $AAAB$ is geen goede mogelijkheid want daar komt een kleur drie keer voor lijkt mij.

1. alle kleuren verschillend: inderdaad $5\cdot4\cdot3\cdot2$.
2. één kleur twee keer ($AABC$): $5\cdot\cdot4\cdot3$: kies drie kleuren op volgorde; dan $\binom{4}{2}$: twee plaatsen voor de eerste kleur; en een factor $2$ voor de andere twee kleuren. Totaal $5\cdot4\cdot3\cdot\binom{4}{2}\cdot2$
3. Twee kleuren twee keer: $5\cdot4\cdot\binom{4}{2}\cdot\frac12$: eerst de twee kleuren kiezen, dan twee plekken voor de eerste, dan delen door $2$ omdat je dubbel hebt geteld: $AABB$ komt zo twee keer voor (als $A$ de eerste is en op plekken $1$ en $2$ komt, en als $B$ de eerste is en plekken $3$ en $4$ krijgt).

kphart
vrijdag 16 oktober 2020

©2001-2024 WisFaq