Een juwelier vervaardigt een rechthoekig kadertje waarvan twee overstaande zijden (lengte x ) gemaakt zijn van goud, en de anderetwee (lengte y ) van zilver. De gouden staafjes kosten 100 €/cm, de zilveren staafjes kosten 75€/cm.
Toon aan dat, als je over een budget beschikt van € 1500, de oppervlakte van het kadertje gegeven wordt door: S=-4/3x2+10x, met dus x de lengte van de gouden staafjes.
Wat is de maximale oppervlakte die je je kan veroorloven? Bij welke afmetingen is dit?
Emmi
2de graad ASO - zondag 23 augustus 2020
Antwoord
Hallo Emmi,
De kosten voor de twee gouden zijden (beide met lengte x) zijn 200x, de zilveren zijden kosten samen 150y. Het geheel mag € 1500,- kosten, dus geldt:
200x + 150y = 1500 (vergelijking 1)
Voor de oppervlakte S geldt:
S = x·y (vergelijking 2).
In de opgave staat een formule voor S waarin y niet voorkomt. In vergelijking (2) moeten we proberen om y kwijt te raken. Dat kan met behulp van vergelijking (1): isoleer y, je vindt:
y = -4/3·x + 10x (vergelijking 3)
(Voer de berekening ook zelf uit!).
Als je deze uitdrukking voor y invult in vergelijking (2), dan vind je dezelfde formule voor de oppervlakte als in de opgave.
Nu kan je bepalen bij welke waarde van x je een maximum vindt voor S. Ik denk dat het de bedoeling is dat je dit doet met behulp van differentiëren. De gevonden waarde van x vul je in vergelijking (3) in, dan vind je de bijbehorende waarde van y. Je weet dan de lengte en breedte van het kader, en dus de oppervlakte.
