\require{AMSmath}

Lijnstuk AB in assenstelsel

Ik heb een opgave waar vervolgvragen inzitten. Ik begin bij de gegevens:
'Van een lijnstuk AB met een constante lente r ligt A op de X-as en B op de Y-as. (dus X² + Y² = AB²)Op AB ligt een punt P; AP = p. Dan is BP = r - p = q.'

Deze gegevens snap ik, maar dan is de vraag: druk nu met behulp van gelijkvormige driehoeken Xa uit in Xp en Yb in Yp.

Is dan het antwoord Xp:Q = Yp:P (met uitleg) voldoende voor het beantwoorden van de vraag?

Daarna moet ik aantonen wat de verzameling van de punten P voorstelt, als A en B langs de X- en ook de Y as bewegen. Hoe moet ik deze vraag aanpakken? Ik begrijp niet waar ze naar toe willen.

Alvast bedankt.

Michel
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 26 maart 2003

Antwoord

A = (a,0), B = (0,b). Die laatste staat "helaas" als (b,0) in de figuur!!
In bovenstaande figuur zijn Q en R de projecties van het punt P op de x-as en y-as.
We geven P de coördinaten (x,y). We stellen dus AB = p + q = r.
Dan is BRP ~ BOA, zodat
BP : BA = RP : OA
of
q : r = x : a
Daaruit vinden we eenvoudig:
a = rx /q
En (met twee andere driehoeken, welke?)
b = ry /p
Hiermee zijn, althans volgens mij, a en b (Xa en Yb uit je vraag) uitgedrukt in x en y (de Xp en de Yp uit je vraag).

Wanneer nu A en B langs de x- resp. y-as bewegen, waarbij het lijnstuk AB z'n lengte behoudt, dan veranderen natuurlijk de waarden van x en y.
Ook de waarden van a en b veranderen, maar er blijft gelden (waarom?):
a² + b² = r²
Vullen we nu de gevonden uitdrukkingen voor a en b hierin in, dan hebben we:
r²x²/q² + r²y²/p² = r²
Of na deling door r²:
x²/q² + y²/p² = 1
Omdat p en q vaste waarden hebben, is dit een vergelijking van een ellips.
De grote as is gelijk aan q, de kleine as is gelijk aan p.

Deze constructie van een ellips is voor het eerst beschreven door Jan de Witt in 1659 (zie verder onderstaande link).

Zie Ellips-definitie van Jan de Witt

dk
donderdag 27 maart 2003

©2001-2024 WisFaq