Ik heb een reeksontwikkeling in sinussen gemaakt, die aan de voorwaarde voldoet dat de eerste n afgeleiden gelijk zijn aan die van $f(x)=x$ deze reeksontwikkeling is: \[\sum_{k=1}^n{\binom{n}{k}(-1)^{k-1}\frac{\sin(kx)}{k}} \]Ik dacht dat dit naar x zou convergeren als n naar oneidig zou gaan, analoog aan een taylorreeks, maar volgens een plot(n=5) op mijn GR lijkt het er op dat de reeks op [-1,1] convergeerd. Ik kan dit gedrag niet verklaren, convergeert het ook echt op [-1,1] en hoe kan je zoiets exact bepalen? (zoals bij taylorreeksen)
Jan
Student universiteit - woensdag 27 mei 2020
Antwoord
Om te beginnen wat je gemaakt hebt is geen reeks; schrijf wat je krijgt maar eens uit voor $n=1$, $2$, $\ldots$. Je zult zien dat de $n$-som begint met $n\sin x$, en dat de coëfficiënten van hogere sinussen ook telkens veranderen. Iedere functie $$f_n(x)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k}\frac{\sin kx}{k} $$ziet er overal anders uit dan de voorgaande. Dat neemt niet weg dat inderdaad lijkt te gelden dat $$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=x $$voor $|x|\le1$. Voorlopig kan ik dat bewijzen voor $|x|<\mathrm{e}^{-1}$ maar dat is nogal een gedoe. Als je de Taylorreeksen van de functies $f_n$ rond $0$ opschrijft krijg je $$\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m\cdot s(m,n)}{(2m+1)!}x^{2m+1} $$waarbij $$s(m,n)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k}k^{2m} $$(vul voor elke $\sin kx$ de Taylorreeks in, en werk netjes uit). Het interessante is dat $s(0,n)=1$ voor alle $n$, dus elke reeks begin met $x+\cdots$. Daarnaast geldt $s(m,n)=0$ als $n >2m$ dus de reeks vervolgt pas bij $m=\frac n2$ (als $n$ even is) of bij $m=\frac{n+1}2$ (als $n$ oneven is). De afschatting die ik voor de staart heb levert alleen soleaas als $|x|<\mathrm{e}^{-1}$.
Re: Convergentie fourierreeks 