\require{AMSmath}

Axiomatisch bewijzen

Ik moet axiomatisch bewijzen:
∀x ∀y ((Ax → Rxy) → ¬Ay) ⊢ ∀x (Rxx → ¬Ax)

En ben zelf tot hier gekomen:
Neem ∑ = ∀x ∀y ((Ax → Rxy) → ¬Ay)
1) ∑ ⊢ ∀x ∀y ((Ax → Rxy) → ¬Ay) ----- aanname
2) ⊢ ∀x ∀y ((Ax → Rxy) → ¬Ay) → ∀y ((Ax → Rxy) → ¬Ay) ----- axioma 3
3) ∑ ⊢ ∀y ((Ax → Rxy) → ¬Ay) ----- MP 1, 2
4) ⊢ ∀y ((Ax → Rxy) → ¬Ay) → ((Ax → Rxx) → ¬Ax) ----- axioma 3
5) ∑ ⊢ ((Ax → Rxx) → ¬Ax) ----- MP 3, 4
6) ⊢ Rxx → (Ax → Rxx) ----- axioma a
7) Rxx ⊢ Rxx ----- extra aanname
8) ∑, Rxx ⊢ (Ax → Rxx) → ¬Ax ----- MP 6, 7

10) ∑, Rxx ⊢ ¬Ax ----- MP
11) ∑ ⊢ (Rxx → ¬Ax) ----- deductiestelling
12) ∑ ⊢ ∀x (Rxx → ¬Ax) ----- universele generalisatie

Tussen regel 8 en 10 loop ik vast en zie het niet.
Heb kennis van axioma a, b, c en d.
Met bijvoorbeeld axioma b in regel 5: Rxx $>$ (Ax $>$ Rxx) $>$ (Rxx $>$ Ax) $>$ (Rxx $>$ Rxx) kom ik niet uit.
Met bijvoorbeeld axioma c in regel 8: (Ax $>$ Rxx) $>$ (¬Rxx $>$ ¬Ax) kom ik ook niet uit.
Kan iemand me verder op weg helpen om hier af te leiden?

Fabien
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - dinsdag 28 april 2020

Antwoord

Het is iets makkelijker; je hebt
$(6)\vdash Rxx\to(Ax\to Rxx)$ en
$(5)\vdash(Ax\to Rxx)\to\neg Ax$

Daar staat dus eigenlijk $\vdash X\to Y$ en $\vdash Y\to Z$ met $X=Rxx$, $Y=(Ax\to Rxx)$ en $Z=\neg Ax$.
Axioma a geeft $\vdash (Y\to Z)\to(X\to(Y\to Z))$ en
Axioma b geeft $\vdash(X\to(Y\to Z))\to((X\to Y)\to(X\to Z))$
Pas nu Modus Ponens een paar keer toe om $\vdash X\to Z$ af te leiden.

kphart
dinsdag 28 april 2020

©2001-2024 WisFaq