Gegeven is een functie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Te bewijzen is: Als $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = b$ voor een $b \in \mathbb{R}$, dan geldt $\lim_{x \rightarrow 0} f(x^3) = b$. Mijn huidige bewijs maakt van $f(x^3)$ een andere functie en dit gaat niet goed alleen zie ik niet waar.
Bewijs: Definieer $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ met $g(y) = f(y^3)$. Het is dus ook goed om te bewijzen dat als $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = b$ voor een $b \in \mathbb{R}$, dan geldt $\lim_{y \rightarrow 0} g(y) = b$.
Zij $\epsilon \in \mathbb{R}_{>0}$ willekeurig. Dan is er een $\delta_0 \in \mathbb{R}_{>0}$ zodat als $x \in \mathbb{R}$ en $|x| < \delta_0$, dan $|f(x) - b| < \epsilon$. Neem nu $\delta \in \mathbb{R}_{>0}$ zodat $\delta < \delta_0$. Laat verder $y \in \mathbb{R}$ voldoen aan $|y| < \delta$. Omdat $y \in \mathbb{R}$ volgt dat er een $x \in \mathbb{R}$ bestaat zodat $y = x^3$ (en dus is ook $x^3 \in \mathbb{R}$). Er geldt dan dat $|x^3| $<$ \delta $<$ \delta_0$. Oftewel, $|x^3| $<$ \delta_0$. Dan volgt $|f(x^3) - b| $<$ \epsilon$. Oftewel, $|g(x) - b| $<$ \epsilon$. (Maar hier had dus $g(y)$ moeten komen te staan ipv $g(x)$...).
Marcos
Student universiteit - vrijdag 7 februari 2020
Antwoord
Hallo Marcos,
Wat je hebt gedaan klopt inderdaad niet helemaal. Je bewijst met de limiet $\lim_{y \rightarrow 0} g(y) = b$ dat $\lim_{x^3 \rightarrow 0} f(x^3) = b$ in plaats van waar je naar toe wil $\lim_{x \rightarrow 0} f(x^3) = b$. Ik denk niet dat het gebruik van $g$ handig is.
Je zou het - zonder $g$ - zo kunnen aanpakken vanaf "Laat verder":
Laat verder $x_0 \in \mathbb{R}$ voldoen aan $|x_0| $<$ \delta$ en $|x_0| $<$ 1$. Dan geldt ook $x_0^3 $<$ x_0 $<$\delta$ (en nu zie je waarom $<$1 nodig was). Dus volgt $|f(x_0^3) - b| $<$ \epsilon$.
Je ziet trouwens dat ik er voor kies om een gekozen waarde altijd een index te geven (in dit geval 0) om verwarring met de variabele te voorkomen.