\require{AMSmath}

Legoblokjes

In wikipedia staat een formule voor het bereken van het aantal mogelijkheden voor het stapelen van legoblokjes met 2 x 4 nopjes. Wie kan mij die formule uitleggen? Vooral waar het getal 46 vandaan komt.

• Zie https://www.vanhummel.nl/lego-1/wiskunde

H. Oos
Docent - woensdag 15 januari 2020

Antwoord

Beste H. Oosting,

Om de formule te vinden om een toren van hoogte $n$ te bouwen met $n$ legoblokjes met 2x4 nopjes heeft men eerst de situatie bekeken met $n=2$. Dus: hoeveel manieren zijn er eigenlijk om twee van die blokjes op elkaar te klikken. Dat is simpelweg doen en tellen. In de link hieronder "A LEGO Counting problem" staan de mogelijkheden afgebeeld. Je ziet daar dat er 46 combinaties zijn.

Van die 46 zijn er erg veel die eigenlijk twee keer voorkomen. Bijvoorbeeld het eerste plaatje in de eerste rij en de voorlaatste in de laatste rij zijn niet echt verschillend. Door rotatie over 180 graden komen die precies op elkaar terecht. Alleen de twee blauw afgedrukte combinaties zijn "uniek" (zijn rotatiesymmetrisch over 180 graden).

Dus eigenlijk zijn er $\frac{46-2}{2} + 2 = 24$ mogelijkheden om twee legoblokjes te stapelen.

Gaan we naar drie blokjes, dan zijn er als we geen rekening houden met symmetrie natuurlijk $46^2$ stapelmogelijkheden. Daar zitten weer enorm veel dubbeltellingen door 180 graden te draaien in. Enkel de $2^2$ combinaties van de "blauwe" stapelingen blijven rotatiesymmetrisch, alle anderen tellen dubbel. Zo kom je voor drie blokjes tot $\frac{46^2-2^2}{2} + 2^2$ mogelijkheden.

Deze redenering algemeen makend kom je tot de formule:

$\eqalign{\frac{46^{n-1}-2^{n-1}}{2} + 2^{n-1}}$.

Als formule vind ik overigens het equivaltente $\frac{46^{n-1}}{2} + 2^{n-2}$ mooier.

Met vriendelijke groet,

Zie A LEGO Counting problem

FvL
woensdag 15 januari 2020

©2001-2024 WisFaq