\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 84658

Re: Oppervlakte rechthoek min cirkel

Ik vermoed dat ik de oplossing gevonden heb! Jouw tip met de gelijkvormige driehoeken heeft me ertoe aangezet om verder te kijken, met vermoedelijk succes...

Ik heb een tekening gemaakt met de extra hulplijntjes maar het blijkt dat ik deze niet kan plaatsen in de reactie. Dus ik zal m'n best doen om het uit te schrijven.

Als je vanuit het middelpunt een lijn trekt naar boven, krijg je een nieuwe driehoek waarbij één rechthoekzijde gelijk is aan de straal (r) en de andere rechthoekzijde gelijk is aan 2 - r.

De andere lijn vertrekt ook uit het middelpunt en gaat deze keer naar de rechterkant van de rechthoek. Deze driehoek heeft ook 2 rechthoekzijden, namelijk: een met lengte r en de andere 1 - r.

Aangezien de driehoeken gelijkvormig zijn, zijn ook hun hoeken gelijk. Ik heb een hoek gekozen (links bovenaan) en noemde deze x.

Nu kunnen we stellen: tan(x) = (2 - r) / r = (1 - r) / r

De tangens van de hoek liet ik buiten beschouwing en ging verder met de rest van de gelijkheid.

Na vereenvoudiging vond ik dat r = ²/₃
De oppervlakte van het gearceerde gedeelte kan nu berekend worden.
A = oppervlakte halve rechthoek - oppervlakte halve cirkel
A = (2 · 1) / 2 - $\pi$ · (2 / 3)² / 2
A = 1 - 2$\pi$ / 9

Sam De
Iets anders - woensdag 18 december 2019

Antwoord

Helemaal goed

GHvD
donderdag 19 december 2019

©2001-2024 WisFaq