\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 53648

Re: Formule oppervlakte vijfhoek

Voordat ik op deze vraag in ga, wil ik graag melden dat ik niet bekend ben met deze site en dat de reactie misschien niet volledig overzichtelijk is. Ik raad aan mee te tekenen, dat kan helpen bij het begrijpen van deze oplossing. Ik heb zelf ook een poging gedaan om te kijken of het ook anders kan. De uitkomst van mijn poging is:

Oppervlakte regelmatige vijfhoek V:

V = z²( sin(72) + sin(72) · cos(72) + sin(54) · cos(54) )

Omdat ik werken met de sinus en cosinus functies erg prettig vind. Waarbij z de lengte van één zijde is. Het bewijs van deze formule zal ik hieronder uitleggen.

Voor het gemak leggen we de vijfhoek met een punt omhoog en nummeren we de hoeken van H1 tot en met H5, waarbij H1 de bovenste hoek is en de rest wordt met de klok mee genummerd.

Er is hier sprake van een regelmatige vijfhoek, wat betekent dat elke hoek precies 108° is. Met deze informatie kunnen we het volgende:

α = 108°

Nu trekken we een lijn λ van H5 naar H2, waardoor we de vijfhoek opsplitsen in een gelijkbenige driehoek en een omgekeerd trapezium.

Eerst gaan we de gelijkbenige driehoek opsplitsen in 2 rechte driehoeken, door een loodrechte lijn te trekken vanuit H1 op de zojuist getrokken lijn λ. De driehoeken noemen we voorlopig A.

de formule voor de oppervlakte van één van de twee gelijke driehoeken is: ¹/₂ · lengte · hoogte

Nu gaan we de rechter driehoek berekenen, vanwege de gemakkelijke ligging van die driehoek.

We hebben de volgende gegevens van de driehoek:
( de hoeken van een driehoek moeten opgeteld altijd 180 graden zijn )

hoeken:
a = 90°
b = 54° ( ^α/₂ )
c = 36° ( 180 - 90 - 54 )

zijdes:
schuin = z
aanliggend = sin(54) · z
overstaand = cos(54) · z

Opp. = ¹/₂ · aanliggend · overstaand
Opp. = ¹/₂ · (sin(54) · z) · (cos(54) · z)
Opp. = ¹/₂ · z² · sin(54) · cos(54)

Aangezien we 2 van deze driehoeken hebben die samen driehoek A vormen, kunnen we zeggen:

Opp. A = z² · sin(54) · cos(54)

Nu gaan we verder met lijn λ die we getrokken hebben.

λ = 2 · aanliggend = 2 · sin(54)

Nu trekken we vanuit H3 en H4 (de onderste twee hoeken) 2 loodrechte lijnen μ op λ.

Hiermee hebben we een rechthoek, die we B noemen, gevormd en 2 driehoeken, die we samen C noemen.

Eerst gaan we kijken naar de driehoeken die C vormen.
We nemen weer de rechter driehoek als voorbeeld.

Deze driehoeken zijn ook rechte driehoeken

De hoeken zijn (met de klok mee):
d = 90°
e = 72° (108 - 36)
f = 18° (180 - 90 - 72)

De zijdes zijn:
schuin = z
aanliggend = sin(72) · z = μ
overstaand = cos(72) · z

De oppervlakte van C, die 2 van deze driehoeken bedraagt, wordt dan:

Opp. C = (sin(72) · z) · (cos(72) · z)
Opp. C = z² · sin(72) · cos(72)

Nu hoeven we alleen nog rechthoek B uit te rekenen.
De oppervlakte van een rechthoek = lengte · breedte.

Opp. B = z · μ
Opp. B = z · ( sin(72) · z )
Opp. B = z² · sin(72)

Nu we alle oppervlaktes hebben, kunnen we de totale oppervlakte van vijfhoek V berekenen.

De oppervlaktes nog een keer
Opp. A = z² · sin(54) · cos(54)
Opp. B = z² · sin(72)
Opp. C = z² · sin(72) · cos(72)

Opp. V = A + B + C

Opp. V = (z² · sin(54) · cos(54)) + (z² · sin(72)) + (z² · sin(72) · cos(72))

We kunnen z² buiten haken zetten, omdat het in zowel A, als B, als C voorkomt.

V = z²( sin(54) · cos(54) + sin(72) + sin(72) · cos(72) )
Waarbij: z een zijde van de vijfhoek is.

En dat is de formule van een gelijkzijdige vijfhoek. Hopelijk heb je hier wat aan.

Roel
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 18 december 2019

Antwoord

Dat is een mooie oplossing.
Je kunt $\sin 72$ en $\cos 72$ ook nog in wortels uitdrukken.
Bijvoorbeeld, stel $\alpha=72$ en merk op dat $\cos2\alpha=\cos3\alpha$ ($\cos144=\cos216$).
Je kunt met gonioformules schrijven $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ en $\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$. Dus $\cos\alpha$ is een oplossing van $2x^2-1=4x^3-3x$. Probeer die maar eens op te lossen.

kphart
donderdag 19 december 2019

©2001-2024 WisFaq