Gegeven zijn twee positieve getallen p,q zodat: (q3 arctan(p/q))/3 = $\pi$/12. Gevraagd wordt om een relatie tussen p en q te vinden en van daaruit de kromme bepalen (en diens asymptoten) die door alle punten (p,q) gaat waarvoor deze relatie geldt.
Ikzelf ben uitgekomen op de relatie: p = q tan($\pi$/4q3) met q $>$ 1/(2^1/3). De reden voor deze voorwaarde van q is omdat ik dacht dat de arctan als bereik hoogstens waarden van $\pi$/2 kan geven. Dan heb ik als kromme: f(u) = (u tan($\pi$/4u3, u) met u $>$ 1/(2^1/3). Nu lijkt de voorwaarde van u niet helemaal te kloppen want als ik een u kleiner kies dan 1/(2^1/3) krijg ik waarden van p,q die wel aan de relatie blijken te voldoen? Daarnaast weet ik ook niet hoe we de asymptoten kunnen bepalen van deze kromme. Hulp is gewenst, hartelijk bedankt.
Kees
Student universiteit - zondag 8 december 2019
Antwoord
Dag Kees,
Het bereik van arctan is $\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$ dus dat levert je inderdaad een voorwaarde op $q$, namelijk: $$\frac{\pi}{4q^3}\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) \iff q \in \left(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup\left(\tfrac{1}{\sqrt[3]{2}},+\infty\right)$$Maar aangezien de opgave $q$ (en $p$) positief vraagt, heb je dus enkel $q $>$ \tfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$. Je kan het verband dan inderdaad oplossen naar $p$ i.f.v. $q$: $$p=q\tan\left(\frac{\pi}{4q^3}\right) \quad\quad,\quad q \in \left(\tfrac{1}{\sqrt[3]{2}} , +\infty\right)$$Merk nu het asymptotisch gedrag op:
als $q \to \tfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ (van rechts/boven), dan gaat het argument van de tangens naar $\tfrac{\pi}{2}$ (van links/onder) en dus $p$ naar...
als $q \to +\infty$, dan gaat het argument van de tangens naar $0$ en dus ook $p$...
