Algebraïsch de nulpunten bepalen van de volgende veeltermfuncties
Beste, Ik geraak er niet uit welke ontbindingstechniek ik het best gebruik om de nulpunten van de volgende veeltermfuncties te bepalen. Is er nog een andere manier dan Horner?
f(x)= 1/12x3+1/12x2+2/3x+1 En f(x)= x4-2.5x3-7.5x2+7.5x+9
Phybe
2de graad ASO - zaterdag 21 september 2019
Antwoord
Beste Phybe,
De eerste functie is een derdegraads en daarvoor bestaat de (ingewikkelde) Formule van Cardano als oplossingmethode. Ik kan alvast verklappen dat de functie geen rationale oplossing heeft (zie hieronder) en dan zien oplossingen er meestal ingewikkeld uit. Weet je zeker dat je de formule juist hebt overgetypt?
De tweede is vierdegraads, en dan is Cardano nog niet eens genoeg. Maar laten we eens kijken of we wat kunnen vinden met verstandig proberen. Dan moeten we eerst $x^4-2,5x^3-7,5x^2+7.5x+9=0$ herschrijven tot $2x^4-5x^3-15x^2+15x+18=0$ met alleen hele getallen als coëfficiënten. Dan kunnen we kijken of er rationale oplossingen zijn met de stelling Rational root theorem (ik ken eigenlijk geen Nederlandse naam voor deze stelling :o). Die zegt dat rationale oplossingen van de vorm zijn p/q, waarbij |p| een deler is van de laatste coëfficiënt (in dit geval 18) en |q| van de eerste (in dit geval 2). Dat limiteert het zoeken nogal, immers p kan zijn ±18, ±9, ±6, ±3, ±2 of ±1 en q alleen ±2 of ±1. Ik had twee keer succes, met $x=-2$ en $x=\frac 32 = 1,5$.
En dan komt Horner twee keer om de hoek kijken, wel weer om te beginnen met de oorspronkelijke functie!
