Bewijzen dat een verzameling subset is van de ander
Gegeven An = [3 - 1/n, 6]. Bewijs dat de intersectie van {An} met n een element uit de natuurlijke getallen ($\mathbf{N}$) (exclusief 0) een subset is van [3,6]. Dus met andere woorden: A1 intersect A2 intersect A3 intersect .... intersect An = [3,6].
Ik weet niet hoe ik dit moet oplossen. Ik heb het geprobeerd om er eerst een logische formule van de maken in de vorm van: voor alle n uit $\mathbf{N}$ geldt dat als x een element is uit An, dan x is een element uit [3,6]. Ik kom niet veel verder want een direct bewijs geven lukt niet, evenmin een contrapositie bewijs. Ik heb ook een negatie voor deze formule gezet en probeerde tot een tegenspraak te komen maar dat werkte ook niet. Wat is hierbij de crux want ik zie het niet.
Steven
Student universiteit - dinsdag 17 september 2019
Antwoord
Nee, je `met andere woorden' klopt niet en wel om twee redenen: (1) `subset' betekent niet noodzakelijk `equal', de $=$ moet $\subseteq$ zijn, en (2) er is geen grootste natuurlijk getal dus je linkerlid, $A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n$, is niet het goede. De doorsnede waar het om gaat is $$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_n $$dat is de verzameling van $x$-en die voldoen aan $(\forall n\in\mathbb{N})(x\in A_n)$.
Het bewijs gaat als volgt: neem $x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_n$ willekeurig en bewijs dat $x\in[3,6]$. Welnu, $x\in A_n$ betekent $3-\frac1n\le x\le 6$, dus voor onze $x$ geldt deze ongelijkheid voor alle $n$. Dus zeker $x\le 6$. En omdat $x\ge3-\frac1n$ voor alle $n$ volgt dan $x\ge 3$ (ga dat zelf na). Conclusie $3\le x\le6$, ofwel $x\in[3,6]$.
Re: Bewijzen dat een verzameling subset is van de ander 