nog 2 vragen met uw welnemen: 1. hoe kan ik zien dat uw en mijn m en n gelijk zijn? 2. hoe tel ik de complexe m en n op om een reeel y te krijgen. ( y3+py+q=y3-100y+300 $\Rightarrow$ y=3,39 of y=7,86 of y=-11,25 )
Alvast dank
Herman
Ouder - zondag 7 juli 2019
Antwoord
Jouw en mijn $m^3$ en $n^3$ zijn gelijk want voor mijn $m^3$ en $n^3$ geldt $m^3+n^3=-300$ en $27m^3n^3=1000000$. Dat geldt voor jouw $m^3$ en $n^3$ ook en omdat het stelsel slechts een oplossing heeft zijn onze oplossingen natuurlijk hetzelfde.
De manier waarop je $m$ en $n$ zelf bepaalt is via modulus en argument. Teken $m^3=-150+\frac{50}{9}\sqrt{471}i$ in het complexe vlak; de plaatsvector heeft een lengte (de modulus): $r=\frac{1000}{9}\sqrt3$ en hij maakt een hoek, $\theta$ met de positieve $x$-as. Dan kun je $m^3$ schrijven als $$r\cos\theta+i\,r\sin\theta $$Een derdemachtswortel, $m$ dus, is dan gelijk aan $$\sqrt[3]{r}\cos\frac\theta3+i\,\sqrt[3]r\sin\frac\theta3 $$Die waarden kun je met een rekenmachientje bepalen. Voor $n^3=-150-\frac{50}{9}\sqrt{471}i$ doe je hetzelfde, je krijgt dan $-\theta$ als hoek en dus $$n=\sqrt[3]{r}\cos\frac\theta3-i\,\sqrt[3]r\sin\frac\theta3 $$Nu geldt $m+n=2\sqrt[3]r\cos\frac\theta3$ en dat is reëel.
Zie de link hieronder voor een boek waarin alles uitgebreid wordt uitgelegd.
Dit is een reactie op vraag 88286 
