\require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking en reeksen

Goede avond,

In de cursus van Steven Holzner "Differential equations for Dummies" staat er een hoofdstuk dat aangeeft dat je met veel rekenwerk ook een oplossing van een (eenvoudige) DV met tweede lid=0, kan bekomen via reeksen met veel redenering en uitgewerkt in 25 punten om dan de oplossing te bekomen die je anders zo kan neerschrijven.

VB :(d²y)/dx²)+4y = 0

Oplossing met de gewone technieken:
stellen we r²+4=0 en de oplossing is dan r=(+2i;-2i) Zonder randvoorwaarden vinden we dan:
y=C(1) cos(2x)+C(2)sin(2x)
=a(0)cos(2x)+a(1)sin(2x)
of ook C(1)=a(0) en C(2) a(1) ( 0 en 1 indices).

Waarom is het dan nodig om de reeksentheorie toe te passen (wat ik wel goed kan volgen), maar wat heel veel werk oplevert eer je aan de oplossing bent die je toch dadelijk rechtstreeks kan uitschrijven.

Waarom nu reeksen toepassen waarbij er ongelooflijk veel rekenwerk bij te doen valt. Wordt dat ook vereist op een examen zodat men vraagt een eenvoudige DV met reeksen op te lossen??. Of mogen studenten vrij een methode kiezen? Dus de methode opleggen of niet. Dat bedoel ik.

Met vriendelijke groeten

Rik Le
Iets anders - zondag 5 mei 2019

Antwoord

De kracht van de reeksenmethode is dat deze ook werkt als de DV niet zo'n mooie oplossing heeft. Denk bijvoorbeeld aan $y''-x\cdot y=0$ (de DV van Airy); deze heeft geen elementaire oplossing maar de reeksenmethode geeft in ieder geval machtreeksen voor de basisoplossingen (de Airy-functies) en dat is meer dan niets.

Inmiddels zijn die Airy-functies voor veel wiskundigen zo gewoon geworden dat ze ook als elementaire oplossingen gelden. Verder moet je bedenken dat de functies die als `elementair' gelden, zoals sinus, cosinus en exponentiële functie ook door machtreeksen gegeven zijn.

Verder is het natuurlijk wel zo handig om een nieuwe methode eerste eens op bekende problemen toe te passen zodat je op vertrouwde grond kunt oefenen.

Zie Wikipedia: Airy function

kphart
maandag 6 mei 2019

©2001-2024 WisFaq